|
|
|
\require{AMSmath}
Zoeken in de vragen van 2021
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
Student hbo
| 91618. |
Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Geachte,
Een opdracht is opgebouwd uit twee vragen a en b. Vraag (a) lukte mij helaas niet om aan te tonen. Kan iemand hiermee graag helpen?
Bij vraag (b) heb ik betantwoord, maar weet ik niet of mijn antwoordt goed?
Opdracht:
(a) Toon aan dat voor een willekeurig getal in {10, 11, . . . , 100} geldt dat het een priemgetal is precies dan als het niet deelbaar is door 2, 3, 5 of 7.
(b) Maak gebruik van onderdeel (a) en inclusie-exclusie om het aantal priemgetallen onder de 100 te bepalen. (Gewoon tellen is verboden!).
============================
Antwoord: (a): lukt mij helaas niet.
Antwoord: (b):
(b):
Er zijn 25 priemgetallen onder de 100, en precies 21 getallen tussen de 10 en 100 want tussen 1 en 10 zijn 4 priemgetallen. Dit zijn 2,3,5 en 7.
Neem voor A de tweevouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/2 = 45.
Neem voor B de drievouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/3 = 30.
Neem voor C de vijfvouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/5 = 18.
Neem voor D de zevenvouden in {10, 11, . . . , 100}; dat is 90/7 = 12.
Nu zijn de 2•3 , 2•5, 2•7, 3•5, 3•7, 5•7 -vouden dubbel meegeteld. En ook daarna zijn de 2•3•5, 2•3•7, 2•5•7, 3•5•7-vouden weer dubbel geteld
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
90 - {90/2 + 90/3 + 90/5 + 90/7} + { 90/6 + 90/10 + 90/14 + 90/15 + 90/21 + 90/35} - { 90/(2.3.5) + 90/(2.3.7) + 90/(3.5.7) + 90/(2.5.7)} + {90/(2.3.5.7)} =
90 - { 45+30+18+12} + {15+9+6+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}=
90 - 105 + 42 - 6 = 21.
Er zijn dus 21 getallen onder de 100 die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 zijn.
Graag uw hulp hiermee. Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet,
Mi
|
| 91619. |
Re: Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Beste Kphart,
Bedankt voor uw antwoord.
Ik heb vraag a gemaakt, en kweet niet of mijn antwoordt goed is?:
Wij kunnen zeggen dat alle getallen die NIET één van deze vier in hun priemfactor ontbinding hebben, zitten zijn priemgetal! Trouwens als een getal NIET deelbaar door 2, 3, 5, 7 is, dan is het ook niet deelbaar door een ander getal onder de 100, want de uitkomst van die deling zou onder de 10 moeten liggen (100 = 10 • 10 dus als een getal als
a • b geschreven kan worden en a $>$ 10, dan moet wel b $<$ 10 zijn).
Kortom: als we alle veelvouden van 2, 3, 5, 7 onder de 100 wegstrepen, dan houden we vanzelf de priemgetallen over.
=====================
Bij vraag b:
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
90 - {90/2 + 90/3 + 90/5 + 90/7} + { 90/6 + 90/10 + 90/14 + 91/15 + 91/21 + 91/35} - { 91/(2.3.5) + 91/(2.3.7) + 91/(3.5.7) + 91/(2.5.7)} + {91/(2.3.5.7)} =
91 - { 45+30+18+13} + {15+9+6+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}=
90 - 106 + 42 - 6 = 21.
Er zijn dus 21 getallen onder de 100 die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 zijn.
========================
Kan ik deze erbij toevoegen dan?
Maar nu is 1 ook meegeteld en dat is geen priemgetal. En verder zijn 2, 3, 5, 7 NIET meegeteld terwijl dat wel priemgetallen zijn. Dus we houden 21 - 1 + 4 = 24 priemgetallen onder de 100 over.
Heb ik die twee vragen nu goed beantwoordt? 
Als nee, graag uw hulp daarover. Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet,
Mi
|
| 91620. |
Re: Re: Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Beste Kphart,
Hartelijk dank voor uw opmerkingen. Ik ging helaas snel werken. Excuses voor het ongemak.
Zie a.u.b. mijn uitwerking bij vraag b:
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
91 - {91/2 + 91/3 + 91/5 + 91/7} + { 91/6 + 91/10 + 91/14 + 91/15 + 91/21 + 91/35} - { 91/(2.3.5) + 91/(2.3.7) + 91/(3.5.7) + 91/(2.5.7)} + {91/(2.3.5.7)} =
91 - { 45+30+18+13} + {15+9+6+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}=
91 - 106 + 42 - 6 + 0 = 21.
Er zijn dus 21 getallen onder {10,.....,100} die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 hebben.
Ik hoop dat het nu goed is geworden. Graag uw opmerkingen erover. Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet,
Mi
|
| 91623. |
Re: Re: Re: Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Beste Kphart,
Hartelijk dank voor uw nuttige uitleg. Ik heb het verwerkt. Zie a.u.b. mijn verwerking:
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 is gelijk aan:
91 - {91/2 + 91/3 + 91/5 + 91/7} + { 91/6 + 91/10 + 91/14 + 91/15 + 91/21 + 91/35} - { 91/(2.3.5) + 91/(2.3.7) + 91/(3.5.7) + 91/(2.5.7)} + {91/(2.3.5.7)} =
91 - { 46+30+19+13} + {15+10+7+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}=
91 - 108 + 44 - 6 + 0 = 21.
Er zijn dus 21 getallen onder {10,.....,100} die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 hebben.
Is het nu goed? . Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet,
Mi
|
| 91631. |
Re: Re: Re: Re: Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Beste Kphart,
Dank u wel voor uw antwoord. Eerlijk gezegd, zie ik het niet goed meer. Toch zal ik het proberen:
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
100 - {100/2 + 100/3 + 100/5 + 100/7} + { 100/6 + 100/10 + 100/14 + 100/15 + 100/21 + 100/35} - { 100/(2.3.5) + 100/(2.3.7) + 100/(3.5.7) + 100/(2.5.7)} + {100/(2.3.5.7)} =
100- { 50+33+20+14} + {16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2} -{3+2+0+1} + {0}=
100 - 117 + 45 - 6 + 0 = 22.
Er zijn dus 22 getallen onder {1,.....,100} die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 hebben.
Maar onder {1,....,9} is 1 ook meegeteld en dat is geen priemgetal. En verder moeten die 4 priemgetallen eraf zijn van de totaal.
We houden dus 22 - 4 = 18 priemgetallen onder de 100 over.
Ik weet het niet of ik goed heb gedaan. Graag uw hulp daarvan want ik zie het niet meer. Alvast bedankt!
MVG
Mi
|
| 91643. |
Re: Re: Re: Aantal priemgetallen |
|
|
Telproblemen - Student hbo |
|
Beste Kphart,
Bedankt voor uw uitleg. Ik heb het verwerkt. Ik hoop dat het nu goed is geworden.
==========================
Er zijn 25 priemgetallen onder de 100, en precies 21 getallen tussen de 10 en 100 want tussen 1 en 10 zijn 4 priemgetallen. Dit zijn 2,3,5 en 7.
Het aantal getallen onder de 100 dat GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 onder de 100 is gelijk aan:
Er zijn 50 tweevouden onder de 100: 100/2 = 50.
Er zijn 33 tweevouden onder de 100: 100/3 = 33.
Er zijn 20 tweevouden onder de 100: 100/5 = 20.
Er zijn 14 tweevouden onder de 100: 100/7 = 14.
100 - {100/2 + 100/3 + 100/5 + 100/7} + { 100/6 + 100/10 + 100/14 + 100/15 + 100/21 + 100/35} - { 100/(2.3.5) + 100/(2.3.7) + 100/(3.5.7) + 100/(2.5.7)} +{100/(2.3.5.7)}
= 100 - { 50+33+20+14} + {16+10+7+6+4+2} -{3+2+0+1} + {0}
= 100 - 117 + 45 - 6 + 0 = 22.
Er zijn dus 22 getallen onder de 100 die GEEN veelvoud van 2, 3, 5, 7 zijn.
Er zijn vier priemgetallen onder {1,……, 9} en dit zijn 2,3,5 en 7.
Maar nu is 1 ook meegeteld en dat is geen priemgetal. En verder zijn 2, 3, 5, 7 NIET meegeteld
terwijl dat wel priemgetallen zijn.
Dus we houden 22 - 1 + 4 = 25 priemgetallen onder de 100 over.
Is het nu goed geworden? Alvast hartelijk dank.
MVG
Mi
|
|
