Rijen en limiet
Hoi,
Ik heb de volgende formule:
A_n = 5 - (1/4)n stel n = ¥ A_¥ = 5 - (1/4)^¥ Klopt het onderstaande dan: A_¥ = 5 - 0 = 5 Of moet ik limieten gebruiken en zeggen:
lim (1/4)n = 0 n-¥
A_¥ = 5
Mijn vraag is dus eigenlijk, geldt dit: (1/4)^¥ = 0 Het lijkt me niet, anders zou dit limiet zonder nut bestaan: lim (1/4)n = 0 n-¥
ALS (1/4)^¥ = 0 NIET geldt, dan snap ik niet waarom je uiteindelijk toch mag zeggen dat A_¥ = 5 , omdat het volgende niet geldt dan:
lim (1/4)n = (1/4)^¥ n-¥
Misschien ben ik wat vaag, ik hoop dat mijn vraag duidelijk is.
Bart K
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 20 januari 2005
Antwoord
Een rij un heeft een limiet L als voor elk positief, willekeurig klein getal c er een rangnummer bestaat zo, dat alle termen van de rij un vanaf dat rangnummer in het interval L-c,L+c liggen. (Definitie Moderne Wiskunde B2 deel 2)
We vermoeden dat de rij An=5-(1/4)n limiet 5 heeft. We gaan onderzoeken of de limietdefinitie "werkt". We willen dus weten of er bij elk willekeurig klein positief getal er een rangnummer n te vinden is zo,dat 5-cAn5+c. Voor alle n geldt An5+c. Nu nog 5-cAn, dus An5-c 5-1/4n5-c -1/4n-c 1/4nc n1/4log(c) Kiezen we bijvoorbeeld c=1/(4^1000), dan moet n groter zijn dan 1000. Kiezen we voor c 1/(4^10000000) dan moet n groter zijn dan 10000000, enzovoort. Dus inderdaad heeft de rij An limiet 5.
zondag 23 januari 2005
©2001-2024 WisFaq
|