WisFaq!

Rijen en limiet

Hoi,

Ik heb de volgende formule:

A_n = 5 - (¹/₄)ⁿ
stel n = ¥
A_¥ = 5 - (¹/₄)^¥
Klopt het onderstaande dan:
A_¥ = 5 - 0 = 5
Of moet ik limieten gebruiken en zeggen:

lim (¹/₄)ⁿ = 0
n-¥

A_¥ = 5

Mijn vraag is dus eigenlijk, geldt dit:
(¹/₄)^¥ = 0
Het lijkt me niet, anders zou dit limiet zonder nut bestaan:
lim (¹/₄)ⁿ = 0
n-¥

ALS (¹/₄)^¥ = 0 NIET geldt, dan snap ik niet waarom je uiteindelijk toch mag zeggen dat A_¥ = 5 , omdat het volgende niet geldt dan:

lim (¹/₄)ⁿ = (¹/₄)^¥
n-¥

Misschien ben ik wat vaag, ik hoop dat mijn vraag duidelijk is.

Bart Kleyngeld
20-1-2005

Antwoord

Een rij u_n heeft een limiet L als voor elk positief, willekeurig klein getal c er een rangnummer bestaat zo, dat alle termen van de rij u_n vanaf dat rangnummer in het interval L-c,L+c liggen.
(Definitie Moderne Wiskunde B2 deel 2)

We vermoeden dat de rij A_n=5-(¹/₄)ⁿ limiet 5 heeft.
We gaan onderzoeken of de limietdefinitie "werkt".
We willen dus weten of er bij elk willekeurig klein positief getal er een rangnummer n te vinden is zo,dat
5-cA_n5+c.
Voor alle n geldt A_n5+c.
Nu nog 5-cA_n, dus A_n5-c
5-¹/₄ⁿ5-c
-¹/₄ⁿ-c
¹/₄ⁿc
n^1/₄log(c)
Kiezen we bijvoorbeeld c=1/(4^1000), dan moet n groter zijn dan 1000. Kiezen we voor c 1/(4^10000000) dan moet n groter zijn dan 10000000, enzovoort.
Dus inderdaad heeft de rij A_n limiet 5.

hk
23-1-2005