De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Het oplossen van de vergelijking voor het plastische getal

Beste

Ik heb al heel wat informatie gevonden over het plastische getal. Ik weet al dat het de rele oplossing is van de vergelijking $x^3=x-1$ en ik weet hoe dat je het berekent.

Ik weet ook dat er twee andere complexe oplossingen zijn. Maar hoe kan je die berekenen? Met mijn kennis van de complexe getallen kom ik er niet...

Alvast bedankt

Ala
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 27 maart 2020

Antwoord

Je vergelijking klopt niet. Dat moet $x^3=x+1$ zijn. Voor het oplossen van vergelijking als $-x^3+ax^2+bx+c=0$ kan je het volgende algoritme gebruiken.

$
\eqalign{
& Gegeven: - x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \cr
& p: = \frac{2}
{3}\sqrt {a^2 + 3b} \cr
& q: = - \frac{{2a^3 + 9ab + 27c}}
{{2\sqrt {(a^2 + 3b)^3 } }} \cr
& x_1 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_2 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_3 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr}
$

Het invullen van de juiste waarden geeft:

$
\eqalign{
& a = 0 \cr
& b = 1 \cr
& c = 1 \cr
& p = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr
& q = - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr}
$

Je krijgt dan 3 oplossingen:

$
\eqalign{
& x_1 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) \cr
& x_2 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) \cr
& x_3 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) \cr}
$

De oplossingen kan je uitschrijven als:

q89464img1.gif

En rele en twee complexe oplossingen. Als je de oplossingen benadert dan zie je het plastische getal verschijnen bij de tweede oplossing.

q89464img2.gif

Je kunt ook 's kijken op x=x+1 voor een andere schrijfwijze die (hopen we dan maar) op hetzelde neerkomt.

Volgens mij zijn we er dan wel uit...

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 28 maart 2020
 Re: Het oplossen van de complexe vergelijkingen  



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb