WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op maandag 21 september 2020

Het oplossen van de vergelijking voor het plastische getal

Beste

Ik heb al heel wat informatie gevonden over het plastische getal. Ik weet al dat het de reŽle oplossing is van de vergelijking $x^3=x-1$ en ik weet hoe dat je het berekent.

Ik weet ook dat er twee andere complexe oplossingen zijn. Maar hoe kan je die berekenen? Met mijn kennis van de complexe getallen kom ik er niet...

Alvast bedankt

Ala
27-3-2020

Antwoord

Je vergelijking klopt niet. Dat moet $x^3=x+1$ zijn. Voor het oplossen van vergelijking als $-x^3+ax^2+bx+c=0$ kan je het volgende algoritme gebruiken.

$
\eqalign{
& Gegeven: - x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \cr
& p: = \frac{2}
{3}\sqrt {a^2 + 3b} \cr
& q: = - \frac{{2a^3 + 9ab + 27c}}
{{2\sqrt {(a^2 + 3b)^3 } }} \cr
& x_1 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_2 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_3 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr}
$

Het invullen van de juiste waarden geeft:

$
\eqalign{
& a = 0 \cr
& b = 1 \cr
& c = 1 \cr
& p = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr
& q = - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr}
$

Je krijgt dan 3 oplossingen:

$
\eqalign{
& x_1 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) \cr
& x_2 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) \cr
& x_3 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) \cr}
$

De oplossingen kan je uitschrijven als:

q89464img1.gif

Eťn reŽle en twee complexe oplossingen. Als je de oplossingen benadert dan zie je het plastische getal verschijnen bij de tweede oplossing.

q89464img2.gif

Je kunt ook 's kijken op x≥=x+1 voor een andere schrijfwijze die (hopen we dan maar) op hetzelde neerkomt.

Volgens mij zijn we er dan wel uit...

WvR
28-3-2020


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#89464 - Complexegetallen - Leerling bovenbouw havo-vwo