WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Partieel integreren

Ik moet een integraal oplossen waar ik niet uit kom. De functie f(x) luidt:

f(x)=x²√1-x²

Nu weet ik dat ik met partieel integreren een heel eind zou moeten kunnen komen, maar ik loop steeds op 1 deel vast en dat kan steeds teruggeleid worden naar de integraal van:

√1-x²

Ik weet wat er uit moet komen:

1/2·x·√1-x²+1/2·arcsin(x)

Maar ik heb geen idee hoe ik daar moet komen.

Ik hoop dat iemand mij van dienst kan zijn.
BVD
Remco
Student hbo - zaterdag 27 juli 2002

Antwoord

(beetje laat, komt door de vakantie)

Ten eerste: x²√(1-x²) heeft niet de primitieve die jij genoemd hebt.
Ik heb eens even gespiekt op integrals.wolfram.com en ben er eens van uitgegaan dat jouw beginfunctie niet luidt
x²√(1-x²), maar √(1-x²)

dan komt er WEL het eindantwoord uit dat jij noemt.
Dus zal ik proberen uit te leggen hoe het komt dat de primitieve van √(1-x²) gelijk is aan
½x√(1-x²) + ½arcsin(x)

we leggen als het ware 2 wegen uit, 2 wegen waarlangs we proberen partieel te integreren. reken maar even mee:

1. $\int{}$√(1-x²)dx = $\int{}$1.√(1-x²)dx =
[x√(1-x²)] + $\int{}$x. x/√(1-x²) dx

2. $\int{}$√(1-x²)dx = $\int{}$ (1-x²)/√(1-x²) dx =
$\int{}$1/√(1-x²) - x²/√(1-x²) dx =
[arcsin(x)] - $\int{}$x²/√(1-x²) dx

truc: x²/√(1-x²) is lastig te primitiveren, maar laten we stap 1 eens gelijkstellen aan stap 2. Wat zien we?

[x√(1-x²)] + $\int{}$x²/√(1-x²) dx = [arcsin(x)] - $\int{}$x²/√(1-x²) dx $\Leftrightarrow$
2$\int{}$x²/√(1-x²) dx = [arcsin(x) - x√(1-x²)] $\Leftrightarrow$
$\int{}$x²/√(1-x²) dx = [½arcsin(x) - ½x√(1-x²)]

Substitueer dit in de laatste regel van stap 2. dit levert je:
$\int{}$√(1-x²)dx = arcsin(x) - ½arcsin(x) - -½x√(1-x²) =
½arcsin(x) + ½x√(1-x²)

hopelijk is dit het antwoord wat je zocht. zoniet, stel je vraag dan nog maar een keer.

vriendelijke groet,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 juli 2002