\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Minimale hoeveelheid hout bij het maken van een kast

Iemand wil een kast bouwen. Deze moet gemaakt worden met zo min mogelijk hout. In formule-vorm is dit: 3(h.b)+ h.2L+ 8(L.b) waarbij L de lengte is, b de breedte en h de hoogte. Omdat er zo weinig mogelijk hout verbruikt mag worden moeten de uitkomsten zo laag mogelijk zijn. De kast is 20m3. De vorige formule moet voldoen aan b.h.2L=20.

Hoe los ik dit op en wat zijn de maten voor b, L en h?

Hilleb
Student hbo - dinsdag 18 mei 2004

Antwoord

Kloppen uw formules?
Ik zou zeggen: de inhoud is b.h.L=20 (ipv b.h.2L=20);
en de benodigde hoeveelheid plank is (in m2)
2.h.L (voor- en achterkant), plus
3.h.b (zijkanten en verticaal tussenschot), plus
8.L.b (onder- en bovenkant en zes horizontale schappen).
Dus ik ga uit van: minimaliseer f=2hL+3hb+8Lb onder de nevenvoorwaarde g=bhL-20=0.
Men kan dit oplossen met de multiplicatorenmethode van Lagrange, als volgt:
De gradiënt van f is (fL,fh,fb=(2h+8b,2L+3b,3h+8L).
De gradiënt van g is (gL,gh,gb=(bh,bL,hL).
Omdat de gradiënten evenredig moeten zijn moet gelden
fLgh=gLfh en fhgb=ghfb;
verder moet gelden g=0, dus bhL=20.
Na berekening volgt 8L=3b, 2h=8b, bhL=20.
Dus b3=40/3 en (L,h,b)=(33Ö(40/3)/8,43Ö(40/3),3Ö(40/3)).
(Men begrijpt uit de context dat er een minimum is en dat het minimum in dit punt wordt aangenomen.)


woensdag 19 mei 2004

©2001-2024 WisFaq