WisFaq!

Minimale hoeveelheid hout bij het maken van een kast

Iemand wil een kast bouwen. Deze moet gemaakt worden met zo min mogelijk hout. In formule-vorm is dit: 3(h.b)+ h.2L+ 8(L.b) waarbij L de lengte is, b de breedte en h de hoogte. Omdat er zo weinig mogelijk hout verbruikt mag worden moeten de uitkomsten zo laag mogelijk zijn. De kast is 20m3. De vorige formule moet voldoen aan b.h.2L=20.

Hoe los ik dit op en wat zijn de maten voor b, L en h?

Hillebrand
18-5-2004

Antwoord

Kloppen uw formules?
Ik zou zeggen: de inhoud is b.h.L=20 (ipv b.h.2L=20);
en de benodigde hoeveelheid plank is (in m²)
2.h.L (voor- en achterkant), plus
3.h.b (zijkanten en verticaal tussenschot), plus
8.L.b (onder- en bovenkant en zes horizontale schappen).
Dus ik ga uit van: minimaliseer f=2hL+3hb+8Lb onder de nevenvoorwaarde g=bhL-20=0.
Men kan dit oplossen met de multiplicatorenmethode van Lagrange, als volgt:
De gradiënt van f is (f_L,f_h,f_b=(2h+8b,2L+3b,3h+8L).
De gradiënt van g is (g_L,g_h,g_b=(bh,bL,hL).
Omdat de gradiënten evenredig moeten zijn moet gelden
f_Lg_h=g_Lf_h en f_hg_b=g_hf_b;
verder moet gelden g=0, dus bhL=20.
Na berekening volgt 8L=3b, 2h=8b, bhL=20.
Dus b³=40/3 en (L,h,b)=(3³Ö(40/3)/8,4³Ö(40/3),³Ö(40/3)).
(Men begrijpt uit de context dat er een minimum is en dat het minimum in dit punt wordt aangenomen.)

hr
19-5-2004