Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Partieel integreren

Ik probeer de volgende integraal op te lossen mbv partieel integreren.
f(x) = x2·e2x
Ik ga x2 differentieren en e2x integreren.

$\int{}$x2·e2x dx= x2·1/2e2x-$\int{}$2x·e2x dx
= x2·1/2e2x-2x·1/2e2x +$\int{}$2·e2x
= x2·1/2e2x-2x·1/2e2x +e2x +C

Volgens mij zou dit het antwoord moeten zijn maar in mijn dictaat staat:
(e2x(2x2-2x+1))/4

Ik snap niet goed hoe ze hieraan komen. De basis komt overeen maar waar komt de factor 1/4 vandaan?

Ik hoop dat iemand mij kan helpen.

Roel
Student universiteit - zaterdag 19 mei 2012

Antwoord

Zei er niet iemand dat wiskunde soms gewoon lijkt op het volgen van een recept uit een kookboek? Op 3. Partieel integreren staat zo'n recept:

$
\large\begin{array}{l}
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {2x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} } dx \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {xe^{2x} } dx \\
\end{array}
$

Nog maar een keer:

$
\large\int {xe^{2x} } dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int {\frac{1}{2}e^{2x} dx}
$

...en nog een keer....

$
\large\int {\frac{1}{2}e^{2x} dx} = \frac{1}{4}e^{2x}
$

Dus uiteindelijk krijg je:

$
\large\begin{array}{l}
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \left( {x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} } \right) \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \\
\int {x^2 } \cdot e^{2x} dx = \frac{1}{4}e^{2x} \left( {2x^2 - 2x + 1} \right) \\
\end{array}
$

Meer moet het niet zijn, maar ook niet minder. Mooi recept toch?

WvR
zaterdag 19 mei 2012

©2001-2024 WisFaq