Kardinaliteit

In mijn vrije tijd doe ik soms wat wiskunde, deze keer dacht ik aan Cantor met zijn bewijs dat |ℕ| = |ℚ| $<$ |ℝ| (waar |A| de kardinaliteit van A voorstelt); Nu dacht ik: 'Je kunt breuken voorstellen als tweedimensionale coördinaten in de vorm (a, b), wat zou de kardinaliteit dan zijn van een verzameling met coördinaten in de vorm (a, b, c)?' Ik denk dat dit ook ℵ₀ is maar weet niet hoe ik dit kan bewijzen. Kan men ook bewijzen dat de kardinaliteit van een verzameling met elementen in de vorm (a, b, c, d, ...) (met n coördinaten) ook ℵ₀ is voor alle n?

1ste graad ASO-TSO-BSO - zondag 5 mei 2024

Antwoord

1. Dat kan inderdaad. We nemen even $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ want dan werkt de volgende formule (van Cantor zelf) heel mooi.
Geef dan het paar $(a,b)$ het nummer $\frac12(a+b)(a+b+1)+a$. Reken de eerste nummers maar uit: $(0,0)\to0$, $(0,1)\to1$, $(1,0)\to2$, $(0,2)\to3$, $(1,1)\to4$, $(2,0)\to5$, enzovoort.



In het plaatje lopen de nummers op elke lijn van links naar rechts.
Dit levert een bijectie tussen de paren naturlijke getallen en de natuurlijke getallen zelf.

2. Ook dat kan. We schrijven $f(a,b)=\frac12(a+b)(a+b+1)+a$. Maak nu van elk drietal een tweetal: $(a,b,c)\to\bigl(f(a,b),c\bigr)$. Dat is een bijectie tussen de drietallen en de paren.

Op dezelfde manier kun je laten zien dat er evenveel $(n+1)$-tallen zijn als $n$-tallen.

kphart
zondag 5 mei 2024

©2004-2024 WisFaq