De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Kardinaliteit

In mijn vrije tijd doe ik soms wat wiskunde, deze keer dacht ik aan Cantor met zijn bewijs dat |ℕ| = |ℚ| $<$ |ℝ| (waar |A| de kardinaliteit van A voorstelt); Nu dacht ik: 'Je kunt breuken voorstellen als tweedimensionale co÷rdinaten in de vorm (a, b), wat zou de kardinaliteit dan zijn van een verzameling met co÷rdinaten in de vorm (a, b, c)?' Ik denk dat dit ook ℵ0 is maar weet niet hoe ik dit kan bewijzen. Kan men ook bewijzen dat de kardinaliteit van een verzameling met elementen in de vorm (a, b, c, d, ...) (met n co÷rdinaten) ook ℵ0 is voor alle n?

Oliver Ruiz Lopez
1ste graad ASO-TSO-BSO - zondag 5 mei 2024

Antwoord

1. Dat kan inderdaad. We nemen even $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ want dan werkt de volgende formule (van Cantor zelf) heel mooi.
Geef dan het paar $(a,b)$ het nummer $\frac12(a+b)(a+b+1)+a$. Reken de eerste nummers maar uit: $(0,0)\to0$, $(0,1)\to1$, $(1,0)\to2$, $(0,2)\to3$, $(1,1)\to4$, $(2,0)\to5$, enzovoort.

q98197img1.gif

In het plaatje lopen de nummers op elke lijn van links naar rechts.
Dit levert een bijectie tussen de paren naturlijke getallen en de natuurlijke getallen zelf.

2. Ook dat kan. We schrijven $f(a,b)=\frac12(a+b)(a+b+1)+a$. Maak nu van elk drietal een tweetal: $(a,b,c)\to\bigl(f(a,b),c\bigr)$. Dat is een bijectie tussen de drietallen en de paren.

Op dezelfde manier kun je laten zien dat er evenveel $(n+1)$-tallen zijn als $n$-tallen.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 5 mei 2024



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3