WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Volledige inductie met sommatieteken

Gegeven is: a₁ = 1 en a_n+1 = $\sum$a_k + 1, dan is voor alle natuurlijke getallen geldt dat: a_n = 2^n-1

Ik ken de methode wel van de mathematische inductie (ook al is het al even geleden), maar ik zou het toch nog graag even wat opfrissen in verband met dat sommatieteken. Als jullie me met deze oefening eens eventjes helpen, dan heb ik het zo weer onder de knie - voorbeelden lezen op internet heb ik al gedaan, maar die behandelen al te vaak de elementaire gevallen waarbij de stelling mooi staat uitgeschreven.
Englis
Student universiteit België - woensdag 30 september 2009

Antwoord

(De sommatie is voor k van 1 tot n, dat moet erbij.)
(Merk op dat a_n gelijk is aan een plus de som van 1 tot n-1; dit geldt ook voor n=1, want de som van 1 tot 0 is nul.)

Voor n=1 klopt het, want a₁=1=2⁰=2^1-1.

Stel dat het klopt voor n gelijk aan zekere m$\in\mathbf{N}$, dus a_m=2^m-1. (Inductiehypothese)

Dan geldt voor n=m+1:
a_n=a_m+1=$\sum$₁^ma_k+1=a_m+$\sum$₁^m-1a_k+1=a_m+a_m=2·a_m=2·2^m-1=2^m=2^n-1,
dus dan klopt het ook voor n=m+1. (Inductiestap)

Met inductie concluderen we dat het klopt voor alle n$\in\mathbf{N}$.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 oktober 2009