WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kritische punten van functies met meerdere variabelen

(e) f : $\mathbf{R}$² $\to$ $\mathbf{R}$ : (x, y) $\to$ f(x, y) = xy − ln(x² + y²)

(f) ft : $\mathbf{R}$ $\to$ $\mathbf{R}$ : (x, y) $\to$ f(x, y) = x³ − 3txy + y³

Dit is hoever ik gekomen ben in beide oef (e en f):

e) ^$\partial$f/_$\partial$x= y - ^2x/_{x²+ y²}

^$\partial$f/_$\partial$y= x - ^2y/_{x²+ y²}

Om de kritische punten te vinden, moet je de twee vorige partiële afgeleiden gelijkstellen aan nul, zodat je x of y eruit kan halen en zo de kritische punten kan vinden.
Alleen weet ik niet hoe ik dit stelsel met deze 2 vergelijkinen =0, moet oplossen.
Om dan te bepalen welk soort kritisch punt het is (min/max/zadelpunt) hebben wij geleerd om te werken met de matrix van Hesse.

f)
^$\partial$f/_$\partial$x= 3x² - 3ty

^$\partial$f/_$\partial$y= 3y²-3tx

Kunnen jullie me hier bij helpen?

Alvast bedankt
Alexan
Student universiteit België - zondag 6 april 2008

Antwoord

Dag Alexander,

Bij het oplossen van zulke niet-lineaire stelsel moet je inderdaad soms wat kunstgrepen uithalen. Bij oefening e bijvoorbeeld, als je allebei de partieel afgeleiden gelijk aan nul stelt, krijg je y=2x/(x²+y²) en x=2y/(x²+y²). Wat meteen opvalt is de noemer x²+y² in beide rechterleden. Deze zal wegvallen als je de vergelijkingen lid aan lid door elkaar deelt: je krijgt dan y/x=2x/(2y) of y²=x², dus y=x of y=-x. Vul deze dan eens apart opnieuw in in je stelsel, dan krijg je eenvoudiger vergelijkingen en zal je wel een of meerdere oplossingen bekomen. Al is het hier zo dat y=x altijd beide partieel afgeleiden nul maakt, dus elk punt van de vorm (k,k) met k een reëel getal, is kritisch. En dat is eigenlijk achteraf gezien geen verrassing, aangezien de functie f dezelfde blijft als je x en y omwisselt...

Bij de tweede kan het makkelijker: die t is veronderstel ik een parameter, maar dan nog kan je uit de eerste halen dat x²/t=y en uit de tweede dat y²=tx. Vervang in de tweede y door x²/t, dat geeft x⁴/t²=tx dus x³=t³, dus x=t, dat geeft dan ook meteen y=t want y=x²/t=t²/t=t. Dus kritisch punt (t,t).

Om de aard van het kritisch punt vast te stellen kan je dan idd met de hessiaan werken.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 7 april 2008