Dit is hoever ik gekomen ben in beide oef (e en f):
e) $\partial$f/$\partial$x= y - 2x/x2+ y2
$\partial$f/$\partial$y= x - 2y/x2+ y2
Om de kritische punten te vinden, moet je de twee vorige partiële afgeleiden gelijkstellen aan nul, zodat je x of y eruit kan halen en zo de kritische punten kan vinden. Alleen weet ik niet hoe ik dit stelsel met deze 2 vergelijkinen =0, moet oplossen. Om dan te bepalen welk soort kritisch punt het is (min/max/zadelpunt) hebben wij geleerd om te werken met de matrix van Hesse.
f) $\partial$f/$\partial$x= 3x2 - 3ty
$\partial$f/$\partial$y= 3y2-3tx
Kunnen jullie me hier bij helpen?
Alvast bedankt
Alexan
Student universiteit België - zondag 6 april 2008
Antwoord
Dag Alexander,
Bij het oplossen van zulke niet-lineaire stelsel moet je inderdaad soms wat kunstgrepen uithalen. Bij oefening e bijvoorbeeld, als je allebei de partieel afgeleiden gelijk aan nul stelt, krijg je y=2x/(x2+y2) en x=2y/(x2+y2). Wat meteen opvalt is de noemer x2+y2 in beide rechterleden. Deze zal wegvallen als je de vergelijkingen lid aan lid door elkaar deelt: je krijgt dan y/x=2x/(2y) of y2=x2, dus y=x of y=-x. Vul deze dan eens apart opnieuw in in je stelsel, dan krijg je eenvoudiger vergelijkingen en zal je wel een of meerdere oplossingen bekomen. Al is het hier zo dat y=x altijd beide partieel afgeleiden nul maakt, dus elk punt van de vorm (k,k) met k een reëel getal, is kritisch. En dat is eigenlijk achteraf gezien geen verrassing, aangezien de functie f dezelfde blijft als je x en y omwisselt...
Bij de tweede kan het makkelijker: die t is veronderstel ik een parameter, maar dan nog kan je uit de eerste halen dat x2/t=y en uit de tweede dat y2=tx. Vervang in de tweede y door x2/t, dat geeft x4/t2=tx dus x3=t3, dus x=t, dat geeft dan ook meteen y=t want y=x2/t=t2/t=t. Dus kritisch punt (t,t).
Om de aard van het kritisch punt vast te stellen kan je dan idd met de hessiaan werken.
