Limieten

Beste
Kun je me uitleggen waarom bij de eerste oefening de oplossing x$\to$+$\infty$ : 0 en x$\to$-$\infty$ : +$\infty$ en bij de tweede oefening voor x$\to$+$\infty$ : -$\infty$ is.

Eerste oefening
lim x$\to$ $\infty$ √(x²+1)-x

Tweede oefening
lim x$\to$ $\infty$ √(x+1)-x

Dank u bij voorbaat
David

David
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 23 juli 2016

Antwoord

Je kunt bijvoorbeeld $x$ buiten de haakjes halen. Als $x$ positief is komt er
$$
x\left(\sqrt{1+\frac1{x^2}}-1\right)
$$Als $a$ positief is geldt $\sqrt{1+a}$<$1+\frac12a$ (werk $(1+\frac12a)^2$ maar uit. Dus de uitdrukking is kleiner dan $\frac1{2x}$ (en positief) en daarmee is de limiet dus nul.

Als $x$ negatief is komt er
$$
x\left(-\sqrt{1+\frac1{x^2}}-1\right)=-x\left(\sqrt{1+\frac1{x^2}}+1\right)
$$Nu is wat tussen de haken staat groter dan $2$, en $-x$ is positief en gaat naar oneindig als $x$ zelf naar $-\infty$ gaat, dus de uitdrukking gaat naar $\infty$.

Als $x\ge5$ dan geldt $\sqrt{x+1}$<$\frac12x$ (reken maar na) en dus $\sqrt{x+1}-x$<$-\frac12x$; daaruit volgt snel dat de limiet $-\infty$ is.

kphart
zaterdag 23 juli 2016

©2001-2024 WisFaq