\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Differentiaalvergelijking van Euler

Beste wisfaq,

Ik wil een d.v. via de substitutie x=et omzetten in een d.v. met constante coëfficiënten. Ik heb de volgende d.v.

(x2)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0

Ik heb hier voor de constante -4 gekozen.

Ik heb problemen met het omzetten van y'(x) en y''(x) naar functies van t.

vraag 1. Hoe vervang ik y(x) in de d.v. ?

vraag 2. Het volgende is niet correct, hier weet ik niet hoe ik correct wiskundig de substitutie moet uitvoeren

y'(x)=y'(et)=ety'(t), dus ik vervang nu y'(x) gewoon door et·y'(t)?

Na de substitutie deel je door et en blijft de volgende d.v. over

(·) y''(t)-4y(t)=0.

Maar als ik mijn berekening voortzet en deel door et dan krijg ik niet d.v. (·).

Groeten,

Viky

Viky
Student universiteit - dinsdag 29 juni 2010

Antwoord

Viky,
Als y=y(x)en x=exp(t) of t=lnx ,dan is dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)dy/dt,
dus x(dy/dx)=dy/dt.Verder is d2y/dx2=d(1/xdy/dt)/dx=
(1/x)(d2y/dt2)(dt/dx)-(1/x2)(dy/dt)=(1/x2)(d2y/dt2-dy/dt),dus
x2d2y/dx2=d2y/dt2-dy/dt.
De vgl.y''(t)-4y(t)=0 heeft een oplossing b.v. y(t)=exp(2t),waaruit dan volgt dat y(x)=exp(2lnx)=x2 een oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking.Hopelijk zo duidelijk?

kn
woensdag 30 juni 2010

©2001-2024 WisFaq