WisFaq!

Differentiaalvergelijking van Euler

Beste wisfaq,

Ik wil een d.v. via de substitutie x=e^t omzetten in een d.v. met constante coëfficiënten. Ik heb de volgende d.v.

(x²)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0

Ik heb hier voor de constante -4 gekozen.

Ik heb problemen met het omzetten van y'(x) en y''(x) naar functies van t.

vraag 1. Hoe vervang ik y(x) in de d.v. ?

vraag 2. Het volgende is niet correct, hier weet ik niet hoe ik correct wiskundig de substitutie moet uitvoeren

y'(x)=y'(e^t)=e^ty'(t), dus ik vervang nu y'(x) gewoon door e^t·y'(t)?

Na de substitutie deel je door e^t en blijft de volgende d.v. over

(·) y''(t)-4y(t)=0.

Maar als ik mijn berekening voortzet en deel door e^t dan krijg ik niet d.v. (·).

Groeten,

Viky

Viky
29-6-2010

Antwoord

Viky,
Als y=y(x)en x=exp(t) of t=lnx ,dan is dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)dy/dt,
dus x(dy/dx)=dy/dt.Verder is d²y/dx²=d(1/xdy/dt)/dx=
(1/x)(d²y/dt²)(dt/dx)-(1/x²)(dy/dt)=(1/x²)(d²y/dt²-dy/dt),dus
x²d²y/dx²=d²y/dt²-dy/dt.
De vgl.y''(t)-4y(t)=0 heeft een oplossing b.v. y(t)=exp(2t),waaruit dan volgt dat y(x)=exp(2lnx)=x² een oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking.Hopelijk zo duidelijk?

kn
30-6-2010