Deelbaarheid 3, 7 en 11

Wij moeten een PO voor wiskunde maken over de deelbaarheid van 3,7 en 11. We moeten hiervan een deelbaarheidstest maken, zodat je aan het laatste cijfer kan zien of het deelbaar is door 3,7 of 11. Weet u een handig truukje om te kijken of een getal deelbaar is door 3,7 of 11?
Alvast bedankt...

L en K
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 28 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

Een natuurlijk getal N kan je in 10-tallige notatie schrijven door een aantal cijfers 0,1,2,..,9 na elkaar te zetten. Elk cijfer krijgt hierbij een gewicht 10^k, beginnend met k=0 voor het laatste cijfer. Als het eerste beduidend cijfer op positie k=n staat, dan hebben we dus: N=å(k:0..n)(10^k.a_k). Hierin is a_k het k-de cijfer (weer beginnend met 0 en van rechts)

Om kenmerken van deelbaarheid van N te bestuderen, kijken we naar deelbaarheid van 10^k. We noteren de rest van n bij deling door m als: n (mod m). We hebben dus: m|n als en slechts als n (mod m) = 0.

* deelbaarheid door 3
We zien: 10^k(mod 3)=1
Dus N (mod 3)=å(k:0..n)(1.a_k)=å(k:0..n)a_k
Of: een getal is deelbaar door 3 als en slechts als de som van de cijfers dat is.

* deelbaarheid door 11
We zien:
10⁰=1 mod(11)
10¹=-1 mod(11)
10²=1 mod(11)
10³=-1 mod(11)
...
Je herkent en bewijst makkelijk dat
10^2k=1 mod(11)
10^2k+1=-1 mod(11)

Deelbaarheid door 11 heeft dus te maken met de som van de cijfers op even posities en de som van de cijfers op oneven posities. Dit zoek je verder zelf wel uit.

* Deelbaarheid door 7
10⁰=1 mod(7)
10¹=3 mod(7)
10²=2 mod(7)
10³=-1 mod(7)
10⁴=-3 mod(7)
10⁵=-2 mod(7)
10⁶=1 mod(7)

Je kan dus de cijfers van N in groepjes van 3 verdelen, te beginnen langs achter. Voor elk groepje van 3 cijfers ABC bereken je een nieuw getal A+3B+2C (mod 7). Een getal N is dus deelbaar door 7 als de nieuwe getallen op oneven posities dezelfde som geven modulo 7 als de getallen op even posities.

Groetjes,
Johan

andros
maandag 28 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq