De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Deelbaarheid 3, 7 en 11

Wij moeten een PO voor wiskunde maken over de deelbaarheid van 3,7 en 11. We moeten hiervan een deelbaarheidstest maken, zodat je aan het laatste cijfer kan zien of het deelbaar is door 3,7 of 11. Weet u een handig truukje om te kijken of een getal deelbaar is door 3,7 of 11?
Alvast bedankt...

L en K
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 28 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

Een natuurlijk getal N kan je in 10-tallige notatie schrijven door een aantal cijfers 0,1,2,..,9 na elkaar te zetten. Elk cijfer krijgt hierbij een gewicht 10k, beginnend met k=0 voor het laatste cijfer. Als het eerste beduidend cijfer op positie k=n staat, dan hebben we dus: N=å(k:0..n)(10k.ak). Hierin is ak het k-de cijfer (weer beginnend met 0 en van rechts)

Om kenmerken van deelbaarheid van N te bestuderen, kijken we naar deelbaarheid van 10k. We noteren de rest van n bij deling door m als: n (mod m). We hebben dus: m|n als en slechts als n (mod m) = 0.

* deelbaarheid door 3
We zien: 10k(mod 3)=1
Dus N (mod 3)=å(k:0..n)(1.ak)=å(k:0..n)ak
Of: een getal is deelbaar door 3 als en slechts als de som van de cijfers dat is.

* deelbaarheid door 11
We zien:
100=1 mod(11)
101=-1 mod(11)
102=1 mod(11)
103=-1 mod(11)
...
Je herkent en bewijst makkelijk dat
102k=1 mod(11)
102k+1=-1 mod(11)

Deelbaarheid door 11 heeft dus te maken met de som van de cijfers op even posities en de som van de cijfers op oneven posities. Dit zoek je verder zelf wel uit.

* Deelbaarheid door 7
100=1 mod(7)
101=3 mod(7)
102=2 mod(7)
103=-1 mod(7)
104=-3 mod(7)
105=-2 mod(7)
106=1 mod(7)

Je kan dus de cijfers van N in groepjes van 3 verdelen, te beginnen langs achter. Voor elk groepje van 3 cijfers ABC bereken je een nieuw getal A+3B+2C (mod 7). Een getal N is dus deelbaar door 7 als de nieuwe getallen op oneven posities dezelfde som geven modulo 7 als de getallen op even posities.

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 28 oktober 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3