\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vergelijkingstest voor divergente rijen

Je hebt 2 rijen gegeven: $\sum$un en $\sum$vn waarvoor geldt : 0 $\leq$ un $\leq$ vn
Als $\sum$un divergeert zal ook $\sum$ vn divergeren.
Waarom is dit ?

Ik heb 2 gedachtengangen :
1. Ik zou zeggen dat un divergeert dus een oneindige som is. Omdat vn groter is dan un zal deze ook een oneindige som hebben en dus divergeren.

2. Of werken met limieten en suprema en dan eigelijk een contradictie bekomen. Maar met deze 2de methode zit ik in de knoop want ik heb wel het idee maar kan het niet uitwerken...Zouden jullie mij hiermee kunnen helpen en kunnen zeggen of er nog een andere en beter manier is ? (en of de eerste manier correct is?)

alvast bedankt
grtjs joke

joke
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 8 januari 2004

Antwoord

Dag Joke,

Die 1. lijkt mij OK, je kan het eventueel nog lichtjes anders formuleren:
$\sum$vn = $\sum$un + $\sum$(vn-un)

De eerste term uit het rechterlid is oneindig, de tweede is positief, dus het linkerlid is ook oneindig.

Op je tweede manier zoek je een contradictie, dus ga ervanuit dat $\sum$vn convergeert, bv naar N. Vermits je te maken hebt met rijen met enkel positieve termen, betekent dit dat $\sum$i=1..pvi $\leq$ N voor elke p. (1)

Anderzijds weet je dat $\sum$un divergeert, dit betekent dat je voor elke M een q kan vinden zodat
$\sum$i=1..qui $>$ M. (2)

Kies nu in (2) M=N (het geldt immers voor elke M). Je vindt dus een q waarvoor (2) geldt. Echter, (1) geeft dat $\sum$i=1..qvi $\leq$ N.

Zodoende heb je dat $\sum$vn $\leq$ N $<$ $\sum$un (de som loopt telkens van 1 tot q)
en dat is strijdig met het gegeven dat un $\leq$ vn.

Grtn!

Christophe
donderdag 8 januari 2004

©2001-2024 WisFaq