WisFaq!

Vergelijkingstest voor divergente rijen

Je hebt 2 rijen gegeven: $\sum$u_n en $\sum$v_n waarvoor geldt : 0 $\leq$ u_n $\leq$ v_n
Als $\sum$u_n divergeert zal ook $\sum$ v_n divergeren.
Waarom is dit ?

Ik heb 2 gedachtengangen :
1. Ik zou zeggen dat u_n divergeert dus een oneindige som is. Omdat v_n groter is dan u_n zal deze ook een oneindige som hebben en dus divergeren.

2. Of werken met limieten en suprema en dan eigelijk een contradictie bekomen. Maar met deze 2de methode zit ik in de knoop want ik heb wel het idee maar kan het niet uitwerken...Zouden jullie mij hiermee kunnen helpen en kunnen zeggen of er nog een andere en beter manier is ? (en of de eerste manier correct is?)

alvast bedankt
grtjs joke

joke
8-1-2004

Antwoord

Dag Joke,

Die 1. lijkt mij OK, je kan het eventueel nog lichtjes anders formuleren:
$\sum$v_n = $\sum$u_n + $\sum$(v_n-u_n)

De eerste term uit het rechterlid is oneindig, de tweede is positief, dus het linkerlid is ook oneindig.

Op je tweede manier zoek je een contradictie, dus ga ervanuit dat $\sum$v_n convergeert, bv naar N. Vermits je te maken hebt met rijen met enkel positieve termen, betekent dit dat $\sum$_i=1..pv_i $\leq$ N voor elke p. (1)

Anderzijds weet je dat $\sum$u_n divergeert, dit betekent dat je voor elke M een q kan vinden zodat
$\sum$_i=1..qu_i $>$ M. (2)

Kies nu in (2) M=N (het geldt immers voor elke M). Je vindt dus een q waarvoor (2) geldt. Echter, (1) geeft dat $\sum$_i=1..qv_i $\leq$ N.

Zodoende heb je dat $\sum$v_n $\leq$ N $<$ $\sum$u_n (de som loopt telkens van 1 tot q)
en dat is strijdig met het gegeven dat u_n $\leq$ v_n.

Grtn!

Christophe
8-1-2004