\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vierkante matrices

Bewijs dat de vierkante matrices A,B met elkaar commuteren enkel en alleen als de volgende voorwaarde geldt:

k x A + p x B en p x A - k x B commuteren met elkaar (k en p zijn elementen van de verzameling van de reële getallen)

eef
3de graad ASO - maandag 22 september 2003

Antwoord

Hi Eef,
1. A en B commuteren, dus AB=BA.
Dan geldt dat (kA+pB)(pA-kB) = kApA - kAkB + pBpA - pBkB
Maar die reële getallen mag je vooraan zetten.
Dus (kA+pB)(pA-kB) = kpA2 - k2AB + p2BA - pkB2
= kpA2 - k2BA + p2AB - pkB2 wegens het commuteren van A en B
= pAkA - kBkA + pApB - kBpB
= (pA-kB)(kA+pB)
En dus commuteren ook pA-kB en kA+pB met elkaar.

2. De omgekeerde weg: je weet nu dat pA-kB en kA+pB met elkaar commuteren.
Dus pkA2+p2AB-k2BA-kpB2 = kpA2-k2AB+p2BA-pkB2
Dus p2AB-k2BA = p2BA-k2AB
Dus (p2+k2)AB = (p2+k2)BA
Dus AB=BA want je mag delen door p2+k2 als p2+k2¹0.

Daarmee is de equivalentie bewezen!

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 22 september 2003

©2001-2024 WisFaq