WisFaq!

Vierkante matrices

Bewijs dat de vierkante matrices A,B met elkaar commuteren enkel en alleen als de volgende voorwaarde geldt:

k x A + p x B en p x A - k x B commuteren met elkaar (k en p zijn elementen van de verzameling van de reële getallen)

eef
22-9-2003

Antwoord

Hi Eef,
1. A en B commuteren, dus AB=BA.
Dan geldt dat (kA+pB)(pA-kB) = kApA - kAkB + pBpA - pBkB
Maar die reële getallen mag je vooraan zetten.
Dus (kA+pB)(pA-kB) = kpA² - k²AB + p²BA - pkB²
= kpA² - k²BA + p²AB - pkB² wegens het commuteren van A en B
= pAkA - kBkA + pApB - kBpB
= (pA-kB)(kA+pB)
En dus commuteren ook pA-kB en kA+pB met elkaar.

2. De omgekeerde weg: je weet nu dat pA-kB en kA+pB met elkaar commuteren.
Dus pkA²+p²AB-k²BA-kpB² = kpA²-k²AB+p²BA-pkB²
Dus p²AB-k²BA = p²BA-k²AB
Dus (p²+k²)AB = (p²+k²)BA
Dus AB=BA want je mag delen door p²+k² als p²+k²¹0.

Daarmee is de equivalentie bewezen!

Groeten,
Christophe.

Christophe
22-9-2003