\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 9420

Re: Limiet van een functie

ok, dat klinkt heel mooi en n is idd de juiste oplossing. maar de regel van de L'Hospital hebben we wel nog niet gezien. Kan het ook op een andere manier ?

lim (x-0) ((1+x)n-1)/x

pieter
3de graad ASO - vrijdag 4 april 2003

Antwoord

In de teller staat (1+x)ⁿ-1
wanneer je (1+x)ⁿ voor een stukje uit zou schrijven krijg je in ieder geval de volgende termen:

a₀.xⁿ + a₁.x^n-1 + a₂.x^n-2 + ... + a_n-1x¹ + a_n.1ⁿ

Waarbij je in ieder geval weet dat zowel a₀ en a_n gelijk aan 1 zijn, en a₁ en a_n-1 gelijk aan n zijn.

(zie voor nadere uitleg http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html
bij formule (x+a)ⁿ=... (stel a=1))

Zodoende is
(1+x)ⁿ= xⁿ + n.x^n-1 + ... + n.x + 1
dus (1+x)ⁿ-1 = xⁿ + n.x^n-1 + ... + n.x

Maar dan is
{(1+x)ⁿ-1}/x = x^n-1 + n.x^n-2 + ... + n

Neem je hiervan de limiet van x®0, dan gaan alle termen waar een x in staat naar nul, en hou je alleen n over,

groeten,
martijn

Zie binomiaal coefficienten

mg
vrijdag 4 april 2003

©2001-2024 WisFaq