WisFaq!

Hallo Andries,

Kijk maar eens op:
snijpunt hoogtelijnen van een driehoek
Of op:
waarom gaan de drie hoogtelijnen door 1 punt, het hoogtepunt?

GHvD
3-1-2018

Re: Hoe bereken je het zwaartepunt van een driehoek

Waar komt die formule vandaan en hoe kan je die beredeneren?
Floris
19-1-2018

Antwoord

Dag Floris,

Je weet waarschijnlijk dat het zwaartepunt elke zwaartelijn verdeelt in stukken die zich verhouden als 2:1. Je kunt dan (met vectoren) de formule als volgt aantonen:

Anneke
22-1-2018

Re: Hoe bereken ik de vergelijking van de beeldfiguur?

Geachte heer,

Hartelijk bedankt voor uw uitleg, maar toch wou ik u vragen...
Bij de 1ste mogelijkheid, hoe komt u aan 3(u₁)² + 2 u₁· u₂ + 3 (u₂)² = 64 ?

Is dit omdat u u₁ en u₂ heeft ingevuld in de vergelijking van de cirkel ?
Of in iets anders ?

Ik kijk uit naar uw reactie, en bijvoorbaat bedankt voor uw moeite,

Radjan.
Radjan
2-2-2018

Antwoord

Met wat proberen: eerst $u_1^2+u_2^2=32\cos^2t+16\sin^2t$ en $u_1u_2=-16\cos^2t+8\sin^2t$ en dan, na wat schuiven, vind je $3u_1^2+3u_2^2+2u_1u_2=64\cos^2t+64\sin^2t$.
kphart
2-2-2018

Re: Re: Hoe bereken ik de vergelijking van de beeldfiguur?

Geachte heer,

Bedankt voor uw antwoord.

Tevens wou ik u nog vragen, is het mogelijk om u₁ en u₂
zonder meer te kunnen vervangen door x₁ en x₂, en zo nee, hoe moet ik dat precies doen ?

Want ik zou willen weten hoe ik de uiteindelijke vergelijking in x₁ en x₂ moet uitdrukken.

Moet ik dat doen d.m.v. de uitdrukkingen die er reeds zijn voor u₁ en u₂ ten einde x₁ en x₂ in de uiteindelijke vergelijking te kunnen krijgen ?

Bijvoorbaat dank ik u hartelijk voor uw medewerking,

Radjan.
Radjan
5-2-2018

Antwoord

Ja, dat kan, de vergelijking geeft een relatie aan waar de eerste ($u_1$) en de tweede ($u_2$) coordinaat (samen) aan moeten voldoen opdat het punt op de kromme ligt. Of je die coordinaten $u_1$ en $u_2$ noemt, of $p$ en $q$, of $x_1$ en $x_2$ maakt verder niets uit.

kphart
5-2-2018

Gelijkvormigheid

Goedendag ik zit hier met ‘n complexe vraagstuk met zoveel gegevens dat ik niet weet waar ik zou moeten beginnen met ‘t berekenen wie kan mij hierbij helpen alvast bedankt ‘r schijnt 21,7 m hoog uit te komen.

Je staat voor ‘n destillatietoren en je kijkt onder ‘n bepaalde hoek naar de top. Voor je staat ook nog ‘n container. Je ziet de container en de top van de destillatietoren op één lijn. Je staat op 1,5 m afstand v/d container en op 100 m v/d destillatietoren. Je ogen zitten op 1,7 m hoogte.
Hoe hoog is de destillatietoren?

trafas
15-2-2018

Antwoord

Je hebt hier te maken met 2 gelijkvormige driehoeken. Een grote (rechthoekige) driehoek van 100 m bij (zeg maar) h en een kleine driehoek van 1,50 m bij 0,3 m. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk, dus ze zijn gelijkvormig. Je kunt dan met een tabel de waarde van h uitrekenen:

grote driehoek 100 m h
kleine driehoek 1,50 m 0,30 m

Met kruislings vermenigvuldigen geeft dat:

$
\eqalign{
& 100 \cdot 0,3 = 1,5 \cdot h \cr
& h = 20\,\,m \cr}
$

De totale hoogte van de toren is dan 20 m + 1,70 m = 21,70 m.

Opgelost?
Zie ook gelijkvormigheid

WvR
15-2-2018

Z-hoeken en F-hoeken

Mag je als er bij een figuur geen teken staat dat twee lijnen evenwijdig zijn toch een Z-hoek en F-hoek doen?
Nora
19-2-2018

Antwoord

Nee. De voorwaarde is dat de lijnen evenwijdig lopen. Als daar niets over bekend is dan mag je er niet van uitgaan dat ze evenwijdig lopen en dan kan je F- of Z-hoeken niet gebruiken.
Zie F-hoeken en Z-hoeken
Maar stuur gerust je opgave op!
WvR
19-2-2018

Hyperbool en parabool bepalen

Geachte heer,

Ik heb nl.de formule K : (x+1)ⁿ + p(y-1)²/4 = p
Hoe bepaal ik n en p als K een hyperbool is en een parabool ?

En voor n = 2 en p = -1, hoe krijg ik de toppen, brandpunten, en asymptoten ?

Bij voorbaat dank ik u voor uw medewerking?
Radjan
20-2-2018

Antwoord

Voor een parabool zou $n=1$ moeten zijn en $p\neq0$; voor een hyperbool $n=2$ en $p$ negatief.
In het genoemde geval krijg je
$$
(x+1)^2-\frac{(y-1)^2}{4}=-1
$$
ofwel
$$
\frac{(y-1)^2}{4}-(x+1)^2=1
$$
Vergelijk dit met de standaardvergelijking
$$
\frac{y^2}{4}-x^2=1
$$
en zie de link hieronder; daar moet je wel $x$ en $y$ verwisselen.
Aan het eind alles opschuiven naar $(-1,1)$.

Zie Wikipedia: hyperbool

kphart
21-2-2018

Meetkundige plaats van een snijpunt van 2 rakende cirkels aan 2 vaste cirkels

Opgave: Twee vaste cirkels O1 en O2 raken elkaar uitwendig in A; het punt P is gelegen op gemeenschappelijke raaklijn AR van die cirkels.
Toon dan aan dat er 2 cirkels K1 en K2 bestaan die door P gaan en raken aan de vaste cirkels O1 en O2.
K1 en K2 hebben een 2e snijpunt Q; bepaal de meetkundige plaats van Q als P de raaklijn AR doorloopt.
Mijn bevindingen: Deel a) van de vraag heb ik gevonden en werd opgelost via het kiezen van een gepaste inversie.

Het punt P werd gekozen als middelpunt van de inversiecirkel en de straal is AP. Op die manier zal de inversiecirkel de vaste cirkels O1 en O2 orthogonaal snijden en worden ze door de inversie in zichzelf omgezet. Dit is duidelijk te zien in de bijgaande figuur 1 (WisFaq Figuur₁.png)
Voor wat betreft deel b) van de vraag, had ik al snel door dat de hoek(AQD) een rechte hoek moest zijn. Bijgevolg geldt dan AQ²+DQ² = AD² = constante! Volgens de theorie betekent dit dat Q moet gelegen zijn op een cirkel met als middelpunt N (midden van AD, met A en D vaste punten).

Ik verifieerde dat m.b.v. GeoGebra en stelde vast dat de boog G1AG2 niet tot de meetkundige plaats 'zou' behoren... maar door P te kiezen tussen G3 en G4 bleek dat Q wel op de boog G1AG2 kwam te liggen ; zie ook de tweede figuur
(file WisFaq Figuur 2.png). Zelfs als P=P' samenviel met het punt G4, bleek Q' op de cirkel met middelpunt N en straalAD/2 te liggen. De raaklin k'1 (rode kleur) gaat hier door het inversiecentrum P' en wordt in zichzelf omgezet. Die rechte snijdt (K'2) (d.i. de omzetting van de groene raaklijn k'2) in het punt Q' dat eveneens gelegen is op de cirkel (N,AD/2).

Uiteindelijk VRAAG: Hoe kan ik er in slagen om aan te tonen dat de de hoek(AQD) een rechte hoek is? Graag een tip a.u.b.
Yves D
24-2-2018

Antwoord

Hallo Yves,

Zoals wel vaker gebeurt als ik vragen van je beantwoord, zou ik je een andere kant op willen sturen:

Kijk eens wat er gebeurt als je de inversie bestudeert met centrum $D$ en straal $DA$. De cirkel met diameter $AD$ is dan het beeld van de lijn $AR$.

Neem nu eens $Q$ als beeld van $P$ onder deze inversie. Hoeveel cirkels zijn er door $P$ en $Q$ die raken aan $(C_1)$? Waarom raken die ook aan $(C_2)$?

Als je het antwoord op die vragen hebt, heb je ook het antwoord op b).

Succes!

Met vriendelijke groet,

FvL
25-2-2018

Re: Meetkundige plaats van een snijpunt van 2 rakende cirkels aan 2 vaste cirke

Ik volgde jou voorstel, nl. een inversie kiezen met centrum D en straal DA.

De cirkel met diameter AD is dan het beeld van de lijn AR. De cirkel (D, DA) is dan tevens middencirkel van de rakende cirkels (C1) en (C2). Tevens is het zo dat de raakcirkels
(K1) en (K2) orthogonaal worden gesneden door de middencirkel (D, DA); dit heeft tot gevolg dat de cirkels (K1) en (K2) in zichzelf worden omgezet, na toepassing van die inversie met inversiecirkel (D,DA).

Neem nu eens Q als beeld van P onder deze inversie. Door P passeren (K1) en (K2) en P is bijgevolg een snijpunt van die cirkels.

Daar (K1) en (K2) in zichzelf worden omgezet, na toepassing van de inversie met inversiecirkel (D,DA), zal het beeld Q van P overeenkomen met een tweede snijpunt van (K1) en (K2). Dit betekent dus dat Q gelegen is op de cirkel met middelpunt N.

Je stelde mij dan 2 vragen:

1/ Hoeveel cirkels zijn er door P en Q die raken aan (C1)? Antwoord: 2 cirkels (zie ook deel a) van de opgave).
2/ Waarom raken die ook aan (C2)? Antwoord: Daar de cirkel (D,DA) middencirkel is tussen (C1) en (C2) zal het raakpunt T1 resp. T3 van de cirkels (C1) en (K1) resp. cirkels (C1) en (K2) afgebeeld worden op het raakpunt T2 resp. T4 van (K1) en (C2) resp. (K2) en (C2).

Mijn besluit: dit toont dus aan dat Q (2e snijpunt van (K1) en (K2)) op de cirkel met middellijn AD moet liggen. Dit betekent dan ook dat hoek AQD = 90° en dus ook AQ²+DQ²=AD²= constante, dus volgens een werkstuk uit mijn handboek volgt dat de meetkundige plaats van Q de cirkel (N, AD/2) met N het midden van AD.

Ik ga er van uit dat je nog beschikt over de figuren die ik vorige zaterdag heb doorgestuurd naar WisFaq.

VRAAG: Kan je akkoord gaan met deze oplossing gebaseerd op je tip?

In elk geval hartelijk dank voor je tussenkomst!! Ik heb hier echt wel iets uit geleerd.
Yves D
28-2-2018

Antwoord

Hallo Yves,

Zeker kan ik akkoord gaan.
Een klein ding: Je besluit is dubbelop. Je schrijft "dit toont dus aan dat Q (2e snijpunt van (K1) en (K2)) op de cirkel met middellijn AD moet liggen." Eigenlijk gaat het nog een stapje verder, want deze cirkel is het inverse beeld van de lijn AR. Dus heel de cirkel (met uitzondering van een limietpunt) verschijnt als beeld. Hetgeen je daarna meldt, over hoek AQD en verder, lijkt me overbodig.

Met vriendelijke groet,

FvL
1-3-2018

Omhullende bepalen van een schaar rechten

Ik ben al een tijdje bezig met de vraag in hoeverre het in de vlakke meetkunde mogelijk is, om een omhullende te bepalen van een schaar rechten. Via de analyse is dit natuurlijk veel eenvoudiger; het volstaat immers de parameter k te elimineren uit het stelsel F(x,y,a)=0 én
dF(x,y,a)/dk, met F(x,y,k)=0 het functievoorschrift van de schaar rechten (of krommen).

Concreet koppel ik mijn vraag aan volgende oefening: Gegeven is een vaste cirkel (O) en een vast punt A. Door A brengt men een variabele cirkel (C) aan die (O) orthogonaal snijdt. Noem M en N de snijpunten van beide cirkels. Trek dan de halfrechten AM resp.AN, die (O) snijdt in M' resp. N'. Zoek dan de omhullende van de rechten MN resp. M'N'.

In mijn bescheiden poging om tot een oplossing te komen, begon ik met de poollijn 'pA' van A te bepalen, en koos hierop het punt X (toegevoegd aan A t.o.v. (O)). Ik probeerde via een gepaste inversie tot een oplossing te komen en dan was het ook logisch als inversiecirkel de cirkel (O) te kiezen. Ik zocht ook naar de meetkundige plaats 'mp1' van de middelpunten van de cirkels die (O)
loodrecht snijden.

Het is ook direct duidelijk dat als X op 'pA' varieert de stand van de rechten MN resp. M'N' ook varieert.
Het valt op dat M'N' steeds door O1 gaat ,wat er op wijst dat de omhullende bij de schaar rechten M'N', een puntcirkel of nulcirkel zal zijn; m.a.w. het punt 'O1' is hier volgens mij de omhullende van de schaar rechten M'N'.

Mijn uiteindelijke vraag bestaat uit 2 delen: 'Waarom gaat M'N' steeds door 'O1' en anderzijds een tip om binnen de gewone meetkunde de omhullende van MN te bepalen of is dit te omslachtig? Dank voor de hulp!
Jan He
8-3-2018

Antwoord

Hallo Jan,

Voor je eerste vraag:
Merk op dat in jouw figuur $\angle MN'M'= \angle M'MO_2$ (constante hoekstelling met raaklijn $MO_2$) en dat $\angle MN'M'=\angle N'MO_1$ (gelijkbenige driehoek). Verder is $\angle O_1MO_2 = 90^{\circ}$ vanwege het loodrechte snijden van de twee cirkels. Maar combineren we dit alles, dan is ook $\angle N'MM' = 90^{\circ}$ en dus gaat $M'N'$ door $O_1$ (Stelling van Thales).

Voor je tweede vraag de volgende schets van een redenering:
Merk op dat $O_1O_2MN$ een koordenvierhoek is. Het beeld van $(O_1O_2MN)$ bij inversie in $(O_1)$ is de lijn $MN$.
$AA'$ snijdt de cirkel $(O_1O_2MN)$ in een tweede punt naast $O_1$ en dat is het midden $P$ van $AA'$. De inverse van $P$ ligt dus telkens op $MN$. Ook hier is de omhullende dus een puntcirkel.

Met vriendelijke groet,
FvL
10-3-2018

Cirkels in cirkels

Kun je aangeven hoeveel cirkels met een diameter van 600 mm passen in een cirkel van 2000 mm? Kun je dit in een formule weergeven zodat dit ook uitgerekend kan worden voor andere diameters?
M. van
4-4-2018

Antwoord

Ik denk niet dat er een formule is voor zo'n lastig probleem. Op deze website heb ik wel een manier gevonden om het aantal cirkels te bepalen bij gegeven stralen.

In jouw geval:
Input parameters
Diameter of large disk: 2000
Diameter of small circles: 600
Output parameters
Number of circles that will fit: 8
Waste: 28.00%
Je moet maar 's kijken. Misschien is daarmee je probleem al opgelost?
Zie The best known packings of equal circles in a circle

WvR
6-4-2018

klein | normaal | groot