De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Verzamelingen

Verzamelingen

In een klas zitten 22 leerlingen, 10 leerlingen voetballen, 8 leerlingen basketten, 11 leerlingen tennissen, 5 leerlingen voetballen en tennissen, 3 leerlingen voetballen en basketten en 3 leerlingen tennissen en basketten.
a) Hoeveel leerlingen basketten niet ?
b) Hoeveel leerlingen voetballen en tennissen wel maar basketten niet ?

Stel V = verzameling van de leerlingen die voetballen,
B = verzameling van de leerlingen die basketten,
T = verzameling van de leerlingen die tennissen
S = verzameling van alle leerlingen in de klas
Gegeven #S=22, #V=10, #B=8, #T=11,
#(V^T)=5, #(V^B)=3, #(T^B)=3

Antwoord a : Aangezien S = B v (niet B)
geldt #S = #B + #(niet B) =$>$ #(niet B)=22-8=14

Antwoord b : Hier zit ik vast want ik vind het vreemd dat indien ik wil bepalen hoeveel leerlingen er voetballen en tennissen en basketten ik 4 als resultaat bekom.
Aangezien S = B v V v T geldt
#S = #B + #V + #T - #(B^V) - #(B^T) - #(V^T) + #(B^V^T)
22 = 8 + 10 + 11 - 3 - 3 - 5 + #(B^V^T)
=$>$ #(B^V^T) = 22 - 18 = 4
Heel vreemd aangezien #(B^T) = 3 alsook #(B^V) = 3 terwijl deze aantallen in feite toch groter of gelijk zouden moeten zijn aan #(B^V^T)

Is er ergens een foutje in de opgave of zit ik op een volledig verkeerd spoor ?

Alvast bedank voor een antwoord,

Luca

Luca
23-5-2018

Antwoord

Printen
Hallo Luca,

Volgens mij is er wel iets mis met deze opgave, maar je ziet zelf ook een detail over het hoofd: je gaat ervan uit dat alle leerlingen sporten, maar er kunnen ook leerlingen zijn die geen enkele sport beoefenen (of een andere dan deze drie).

Eerst maar eens vraag a. Deze is snel beanwoord: als 8 leerlingen basketballen, dan blijven er 22-8=14 over die niet basketballen (het doet er niet toe of deze een andere sport uitoefenen of helemaal niet sporten).

Om vraag b aan te pakken, stel ik:

x = het aantal leerlingen dat alledrie de sporten beoefent.

Omdat 5 leerlingen voetballen en tennissen, blijven 5-x leerlingen over die voetballen en tennissen, maar niet basketballen. Op dezelfde wijze kan je bepalen hoeveel leerlingen andere combinaties van twee sporten beoefenen. Handig is om dit weer te geven in een Venn-diagam:

q86286img1.gif

Het aantal leerlngen V dat alleen voetbalt, vind je door de grote cirkel linksboven aan te vullen tot 10:
V + (5-x) + x + (3-x) = 10
V + 8 - x = 10
V = x+2

Op dzelfde wijze vind je het aantal leerlingen dat alleen basketbalt en het aantal dat alleen tennist:

q86286img2.gif

Het totaal aantal sportende leerlingen T vind je door de aantallen in elk vak op te tellen:

T = 2+x + 3-x + 2+x + ... + 3+x
T = 18+x

Wanneer je aanneemt dat alle leerlingen sporten, dus 18+x=22, dan vind je x=4. Maar dat zou de volgende aantallen opleveren:

q86286img3.gif

Getalsmatig klopt dit, maar een negatief aantal leerlingen bestaat niet. Met de gegeven randvoorwaarden kan het dus niet zijn dat alle leerlingen sporten. Anders gezegd:

18+x$\le$22
x$\le$4

Er blijven 4-x leerlingen over die niet sporten.
Om in elk vak een niet-negatieve waarde te krijgen, moet gelden:

0$\le$x$\le$3

Bij vraag b wordt het aanal leerlingen in het blauwe vak gevraagd: wel voetbal en tennis (in totaal 5), maar niet tegelijkertijd basketbal (x). Dit aantal is 5-x, dus 2, 3, 4 of 5.

GHvD
23-5-2018


Re: Verzamelingen

Dag Gilbert,
Dus inderdaad geen unieke oplossing voor dit vraagstuk.
Mijn inziens ontbreekt er nog het gegeven dat er x aantal leerlingen zowel voetballen, basketten als tennissen ofwel dat er y aantal leerlingen geen sport beoefenen. Dan zou er wel een unieke oplossing zijn geweest.
Mijn beste dank !
Luca

Luca
25-5-2018

Antwoord

Printen
Dat is ook mijn conclusie .

GHvD
25-5-2018


Deelverzamelingen: juist of fout?

Voor elk stel verzamelingen V en W geldt:

(V/W) $\cap$ W = $\emptyset$ (juist of fout)
(V/W) $\cup$ (W/V) = V $\cup$ W
(V x V) $\cap$ V = V
(V $\cap$ W) $\cup$ (V/W) = V

Hamish
30-9-2018

Antwoord

Printen
Heb je zelf al antwoorden bedacht? En beredeneerd? De antwoorden zijn, in volgorde: juist, onjuist, onjuist, juist.
Probeer nu zelf te bedenken waarom.
Hint: door de definities te gebruiken kom je een heel eind.

kphart
30-9-2018


Bewijs vierkantswortel 2 irrationaal

In het bewijs dat er geen a $\in$ $\mathbf{Q}$ bestaat zodat a2 = 2 nemen we a = m/n met m,n $\in$ $\mathbf{N}$/{0}. Waarom niet m,n $\in$ $\mathbf{Z}$ volgens de definitie van rationale getallen? Want de voorwaarde die we gebruiken is toch strikter? Dus bewijzen we toch dat er geen a bestaat met m,n $\in$ $\mathbf{N}$ en niet voor a met m,n $\in$ $\mathbf{Z}$ ? Dank bij voorbaat.

amara
4-10-2018

Antwoord

Printen
Dat kun je doen, maar omdat $(m/n)^2=(-m/n)^2$ kunnen we aannemen dat $m/n$ positief is, dan volgt meteen dat $m$ en $n$ hetzelfde teken moeten hebben en dan kunnen we ze net zo goed positief nemen.

kphart
4-10-2018


Parametervergelijking in verzameling

Gegeven: V1 en V3
V1 = {(2n+3)/(n+1)}
V3 = {(2n2 - 7n - 4)/(n2 + 5n + 6)}

Gevraagd: V1 C V3
Los op met parametervergelijking.

Hamish
21-10-2018

Antwoord

Printen
Lees de spelregels nog eens goed.
Je zondigt tegen regel 4: je vraag is absoluut niet duidelijk. Bestaan $V_1$ en $V_3$ elk uit één element (strikt formeel is dat zo)? Maar welk element is dat? Wat is $n$? Of hebben ze oneindig veel elementen, één voor elk natuurlijk getal $n$? Dan moet je dat wel duidelijk maken.
Je zondigt tegen regel 5: je vertelt niet waar je vast zit of wat je zelf al geprobeerd hebt.

Tenslotte: voor elk natuurlijk getal $n$ geldt
$$
\frac{2n+3}{n+1} = 2+\frac1{n+1}
$$en
$$
\frac{2n^2-7n-4}{n^2+5n+6} = 2-\frac{17n+16}{n^2+5n+6}
$$Dan laat zien dat onder beide interpretaties van de vraag de verzamelingen $V_1$ en $V_3$ disjunct zijn.
Zie Spelregels

kphart
31-10-2018


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb