De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Verzamelingen

Surjectie

Als je een surjectieve afbeelding wilt creŽren, moet je de elementen overhouden die als beeld dienen. Maar waarom mag je alleen de verzameling van nul tot oneindig gebruiken en niet alle reŽle getallen?

Niels
16-3-2019

Antwoord

Printen
Beste Niels

Een afbeelding van een verzameling $A$ (domein) naar een verzameling $B$ (codomein) is surjectief als er voor elk element $b \in B$ een $a \in A$ bestaat zodat $a$ op $b$ afgebeeld wordt. Elk element van $B$ moet dus 'als beeld dienen', zoals jij het noemt. Die verzameling $A$ kan uit de positieve reŽle getallen bestaat, maar dat moet niet hoor...
$$f:\color{green}{\mathbb{R}^+}\to\color{blue}{\mathbb{R}}:x \mapsto x^2$$ $$g:\color{green}{\mathbb{R}^+}\to\color{blue}{\mathbb{R^+}}:x \mapsto x^2$$ $$h:\color{green}{\mathbb{R}}\to\color{blue}{\mathbb{R^+}}:x \mapsto x^2$$In de voorbeelden hierboven is:
- $f$ niet surjectief omdat bv. het element $-1 \in \color{blue}{\mathbb{R}}$ geen beeld is;
- $g$ surjectief omdat elke $b\in\color{blue}{\mathbb{R^+}}$ het beeld is van $\sqrt{b}\in\color{green}{\mathbb{R}^+}$;
- $h$ surjectief om dezelfde reden, ook al is de verzameling waar je van vertrekt heel $\color{green}{\mathbb{R}}$.

Maar ook volgende afbeeldingen zijn surjectief terwijl $A$ toch verschilt van $\mathbb{R}^+$:
$$p:\;]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[ \; \to\mathbb{R}^+:x \mapsto \tan x$$ $$q:[-1,1]\to[0,1]:x \mapsto \sqrt{1-x^2}$$ $$r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x \mapsto x^3$$Het zou natuurlijk wel kunnen dat je in een specifieke oefening gevraagd wordt om een surjectieve afbeelding te maken, met een opgegeven domein $A$, bijvoorbeeld de positieve reŽle getallen.

mvg,
Tom

td
16-3-2019


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb