De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Telproblemen

Aantal mogelijkheden om een trap met 7 treden op te gaan?

Op hoeveel mogelijke manieren kan je een trap met 7 treden op gaan? Volgens dit forum zou het 27 zijn, maar dit komt op 128 uit. Terwijl in onze modeloplossing 64 staat.

Xeno W
13-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Xeno,

Om dit vraagstuk op te lossen, moeten we bedenken op hoeveel manieren we die 7 treden kunnen opdelen. Probeer hiervoor een systeem te vinden, bijvoorbeeld: neem steeds een zo groot mogelijk getal, en vul dit aan met weer zo groot mogelijke getallen (maar niet groter dan het voorgaande getal, anders ga je mogelijkheden dubbel tellen):

7
6 1
5 2
5 1 1
4 3
4 2 1
4 1 1 1
3 3 1
3 2 2
3 2 1 1
3 1 1 1 1
2 2 2 1
enz. tot uiteindelijk:
1 1 1 1 1 1 1

Deze setjes geven aan in wat voor stappen je de trap neemt:
  • 7: alle treden in één keer. Aantal mogelijke volgordes: 1
  • 6 1: één stap van 6 treden + één stap van 1 trede. Hier zijn twee mogelijke volgordes (je kunt de getallen 6 en 1 in 2 verschillende volgordes plaatsen).
  • 5 2: aantal mogelijke volgordes: 2
  • 5 1 1: aantal mogelijke volgordes: 3
  • enz.
Wanneer we zo doorgaan en alle mogelijke volgordes optellen, kom ik inderdaad op 64 mogelijkheden. Jij ook?

GHvD
13-1-2018


Hoeveel verschillende rijen mogelijk?

Als je 10 keer met een dobbelsteen gooit, waarbij op de zijvlakken de getallen 1 t/m 6 staan. Na elke worp noteer je het gegooide getal. Zo krijg je een rijtje met 10 getallen. Hoeveel mogelijk rijtjes zijn er met drie vieren ?

Ik weet dat het iets met nCr of nPr moet zijn, maar ik kom er echt niet uit.

Kees K
23-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Kees,

Bepaal eerst hoeveel mogelijke plaatsen er zijn voor de drie vieren. Hiervoor moet je 3 plaatsen kiezen uit 10 mogelijkheden, waarbij de volgorde niet belangrijk is. Immers, het maakt niet uit welke 3 je voor een bepaalde plek kiest. Dit is dus typisch een geval van combinaties: het aantal mogelijkheden om 3 'dingen' te kiezen uit 10 mogelijkheden bereken je met 10 nCr 3.

Voor de overgebleven 7 plaatsen mag je steeds een willekeurig getal kiezen, maar natuurlijk niet 4. Voor elke plek heb je dus 5 mogelijkheden, dit levert een totaal van 57 mogelijkheden.

Vermenigvuldig de twee uitkomsten met elkaar om het aantal mogelijkheden te vinden van rijtjes met drie vieren, èn op elke andere plek een willekeurig ander getal.

GHvD
23-1-2018


Telprobleem

Hoeveel verschillende natuurlijke getallen bestaan er tussen 9 en 999.999 die minstens één 9 bevatten. Ik vermoed dat dit via variatie met herhaling moet maar weet dit niet zeker.
Groetjes
David

David
2-3-2018

Antwoord

Printen
Hallo David,

Het totaal aantal natuurlijke getallen (inclusief 0) van en met 0 tot en met 999999 is 106. Immers: voor elk van de 6 posities in een getal t/m 999999 kan je kiezen uit 10 verschillende cijfers.

Het totaal aantal natuurlijke getallen zonder het cijfer 9 is 96. Immers: nu kan je voor elke positie uit slechts 9 cijfers kiezen.
Het totaal aantal natuurlijke getallen met minstens één 9 is zodoende 106-96=468559.

Echter, het getal 9 en het getal 999999 mogen we niet meetellen, want deze liggen niet tussen 9 en 999999. Zo komen we op 468559-2=468557 natuurlijke getallen tussen 9 en 999999 met minstens één 9.

GHvD
2-3-2018


Eurovisiesongfestival - permutatie

In de finale van Eurosong zitten 8 kandidaten: 4 groepen en 4 solozangers. Op hoeveel manieren kan men de volgorde van de kandidaten in het programma bepalen als:
  1. Men eerst alle solozangers wil programmeren en pas daarna de groepen
  2. Men solozangers en groepen wil afwisselen?
  3. Een bepaalde groep zeker niet als eerste wil komen?

Luka
3-4-2018

Antwoord

Printen
Stap voor stap is een goed methode.
  1. De eerste 4 optredens (met de solozangers) kan je rangschikken op 4! manieren. Idemdito voor de 4 optredens daarna (met de groepen). Dus...?
  2. Je kunt starten met een solozanger. Je hebt dan 4 plekken om de solozangers te rangschikken en je hebt daarna 4 optredens te vergeven voor de groepen. Je kunt ook met een groep beginnen en dan op dezelfde manieren het aantal rangschikkingen bepalen. Conclusie?
  3. Je kunt bij het eerste optreden kiezen uit 7 kandidaten. Je hebt dan nog 7 optredens en 7 kandidaten te verdelen. Dus?
Lukt dat? Lees je de spelregels nog even? Nog vragen? Je antwoorden controleren? Laat maar horen!

WvR
3-4-2018


Re: Re: Twaalf vrienden en drie wagens

Voor te bepalen wie in welk groepje in welke wagen gaat zitten. Hiervoor wordt er gedeeld door 3!.

Koraal
15-4-2018

Antwoord

Printen
In de oorspronkelijke vraag wordt gevraagd hoeveel groepjes van 4 er gevormd kunnen worden en over het instappen in auto’s wordt verder niet meer gesproken.

In elk geval bedankt voor je aanvulling.

MBL
15-4-2018


Twee telproblemen

Twee telproblemen:
  1. 25 leerlingen gaan met drie busjes naar een excursie. In het eerste en tweede busje kunnen negen leerlingen, in het derde kunnen zeven leerlingen mee. Op hoeveel manieren kun je de leerlingen in groepen van negen, negen en zeven verdelen?
  2. In een kamer zijn acht lampen die onafhankelijk van elkaar aangedaan kunnen worden. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om minstens vijf lampen aan te doen?
Alvast bedankt!

Else-L
1-5-2018

Antwoord

Printen
Voor beide problemen heb je vast formules klaarliggen in je boek.

1.
De formule zegt
$$
\binom{25}{9}\cdot\binom{16}9
$$Kies $9$ uit $25$ voor bus 1, dan $9$ uit $16$ voor bus 2, de rest gaat in bus 3; je kunt dit nog door twee delen als je vindt dat het niet uitmaakt in welke bus een groep van $9$ terechtkomt.

2.
Je moet dus $5$ uit $8$ kiezen, of $6$ uit $8$, of $7$ uit $8$, of $8$ uit $8$. Op hoeveel manieren kun je $k$ uit $8$ kiezen? Tel dan op.

kphart
3-5-2018


Vijf koppels rond een tafel

Bij een familiefeest op nieuwjaarsdag zijn er vijf koppels aanwezig. Hoeveel mogelijkheden zijn er indien elke vrouw naast haar man wil zitten aan een ronde tafel ?

Antwoord : vijf koppels kunnen op 4! manieren rond een tafel geplaatst worden. Binnen ieder koppel kunnen man en vrouw op 2! manieren plaats nemen.
Dus totaal aantal mogelijkheden is
4! x 2! x 2! x 2! x 2! x 2! = 24 x 32 = 768

In de cursus staat evenwel 769.
Heb ik een mogelijkheid over het hoofd gezien of staat er een drukfout in de cursus ?

Groetjes,

Luca

Luca
1-5-2018

Antwoord

Printen
Het lijkt me dat het antwoord uit het boek niet goed is: door het kunnen verwisselen van man/vrouw moet het antwoord wel even zijn.
Jouw berekening lijkt me goed.

kphart
1-5-2018


Re: Re: Combinatieleer

Welke toets is dit op de rekenmachine? Ik heb het vorig jaar wel gehad maar nu wil ik het leren voor mijn examen maar weet ik het niet meer. Je mag overigens met je examen wel een rekenmachine gebruiken maar alleen een grafische rekenmachine. Deze dien je tegerlijkertijd met alle andere leerlingen in de examenstand te zetten.

Kim
4-5-2018

Antwoord

Printen
Het hangt af van welke machine je gebruik gaat maken, maar op bijvoorbeeld de TI-84 zit een knop waarop MATH staat. Je vindt de knop twee toetsen onder de toets waar 2ND op staat.

Druk je op MATH dan ga je 4 plaatsen naar rechts waar je het menu ziet dat over kansrekening gaat. Op de tweede en derde regel vind je de opties nPr en nCr.

Wil je bijvoorbeeld weten op hoeveel manieren je 5 voorwerpen kunt kiezen uit een collectie van 12 stuks, dan tik je in je hoofdscherm in 12, daarna via het hierboven beschreven recept kies je de optie nCr en vervolgens zet je er 5 achter. Druk de Entertoets in ter bevestiging. Het antwoord 792 verschijnt dan.

MBL
4-5-2018


Getallen door optellen

Stel je wenst een getal te bereiken door optelling van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 waarbij de volgorde van belang is en waarbij herhaling mogelijk is.

Voorbeeld : het getal 7
7 = 1+1+1+1+1+1+1 aantal variaties = 1
7 = 2+1+1+1+1+1 aantal variaties = 6
7 = 2+2+1+1+1 aantal variaties = 10
7 = 2+2+2+1 aantal variaties = 4
7 = 3+1+1+1+1 aantal variaties = 5
7 = 3+2+1+1 aantal variaties = 12
7 = 3+2+2 aantal variaties = 3
7 = 3+3+1 aantal variaties = 3
7 = 4+1+1+1 aantal variaties = 4
7 = 4+2+1 aantal variaties = 6
7 = 4+3 aantal variaties = 2
7 = 5+1+1 aantal variaties = 3
7 = 5+2 aantal variaties = 2
7 = 6+1 aantal variaties = 2

Totaal aantal mogelijkheden = 63

Het voorbeeld met het getal 7 is nog vrij eenvoudig te bepalen doordat het aantal sommen hier nog beperkt blijft.

Maar stel dat je dit moet doen met een groter getal, bvb het getal 34. Dan ben je op bovenstaande manier toch wel een heel tijdje zoet en vandaar mijn vraag of er hiervoor geen algemene formule bestaat ?

Met dank,

Rudi

Rudi
12-5-2018

Antwoord

Printen
Hallo Rudi,

Om te bepalen op hoeveel manieren we het getal 7 kunnen opsplitsen in de getallen 1 t/m 6, zodanig dat de som gelijk is aan 7, stellen we het getal 7 voor als 7 stippen op een rij:

.......

Het opsplitsen stellen we voor als streepjes tussen de stippen. Enkele voorbeelden: 7=2+2+3 kunnen we voorstellen als:

..|..|... : 7=2+2+3
....|.|.. : 7=4+1+2
.|..|.|..|. :7=1+2+1+2+1
enz.

Eigenlijk komt het erop neer dat we voor elke ruimte tussen twee streepjes moeten beslissen of er een streepje komt of niet. Bij n stippen zijn er n-1 tussenruimtes. Er zijn dan 2(n-1) mogelijkheden om te 'knippen'. Echter: volgens de door jou gegeven regels moet er minimaal één streepje zijn, want 0 streepjes (7 stippen op rij, 7=7) is niet toegestaan. Zo komen we op een totaal aantal mogelijkheden van 2(n-1)-1.

GHvD
12-5-2018


Re: Getallen door optellen

Inderdaad een handige truc ! Alvast hiervoor bedankt

Maar om het getal 34 te bereiken door enkel de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 te hanteren kom ik er met die formule niet omdat het me zeer complex lijkt om te bepalen welke waarde ik van 2n-1 dien af te trekken. Mocht ik de cijfers 1, 2, 3, ..., 31, 32, 33 hanteren dan zou dit inderdaad [2n-1]-1 zijn. Maar als ik mij beperk tot de cijfers 1 tot en met 6 moet ik een waarde x aftrekken ([2n-1-x)]. Maar hoe bepaal ik die waarde x ? Dat lijkt me echt onbegonnen werk.

Zo is bvb 34 = 6+6+6+6+6+4 vertaald naar 5 streepjes.
Anderzijds 34 = 26+1+1+1+2+3 is eveneens vertaald naar 5 streepjes maar deze mag ik niet meenemen aangezien ik 26 niet als term kan gebruiken.

Mijn vraag is dus of het nog doenbaar is om die waarde x te bepalen ?
Rudi

Rudi
13-5-2018

Antwoord

Printen
Er is een strategie om dit soort dingen te tellen maar die kan nogal wat boekhouden met zich meebrengen.

Stap 1.
Bepaal alle mogelijkheden om je getal, hier $34$, als som van de uitverkoren getallen te krijgen, zonder acht te slaan op de volgorde.

Dat kan systematisch door het product van de volgende zes factoren uit te werken:
  • $1+a+a^2+a^3+\cdots+a^{34}+\cdots$,
  • $1+b^2+b^4+b^6+\cdots+b^{34}+\cdots$,
  • $1+c^3+c^6+c^9+\cdots+c^{33}+\cdots$,
  • $1+d^4+d^8+d^{12}+\cdots+d^{32}+\cdots$,
  • $1+e^5+e^{10}+e^{15}+\cdots+c^{30}+\cdots$, en
  • $1+f^6+f^{12}+f^{18}+\cdots+f^{30}+\cdots$.
Verzamel alle termen $a^\alpha b^{2\beta} c^{3\gamma} d^{4\delta} e^{5\epsilon} f^{6\phi}$ met $\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon+6\phi=34$. Elk product geeft een versomming van $34$ en zo krijg je ze allemaal.

Bijvoorbeeld $a^5b^{10}c^6d^4e^5f^6$ hoort bij $1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+4+5+6$.

Stap 2.
Bij elke product $a^\alpha b^{2\beta} c^{3\gamma} d^{4\delta} e^{5\epsilon} f^{6\phi}$ tel je het aantal variaties; dat is
$$
\frac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!\delta!\phi!}
$$waarbij $n=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon+\phi$. Deze multinomiaalcoefficient telt het aantal plaatsingen van de $\alpha$ enen, $\beta$ tweeën, ..., $\phi$ zessen in de som.
Bij de factor hierboven is dat
$$
\frac{15!}{5!5!2!1!1!1!}
$$Stap 3.
Tel alle resultaten bij elkaar op.

Toevoeging: als de volgorde er niet toe doet vervang dan $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ en $f$ elk door $x$; na vermenigvuldiging moet je de coefficient van $x^{34}$ hebben.

kphart
15-5-2018


Routes in een rooster

Bij de uitwerking van opgave 2 staat er bv.(4/2) x (6/4). Mijn vraag is hoe je dat moet uitwerken, want als je 4x6/2x4. lukt het niet. Alvast bedankt!

Rafik
17-5-2018

Antwoord

Printen
Er staat $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
2 \\
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
4 \\
\end{array}} \right) = 6 \times 15 = 90
$.

Wij kennen dat als binomiaal coëfficienten.

Helpt dat?

WvR
17-5-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb