De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Ruimtemeetkunde

Hoeken van regelmatige vierzijdige piramide

Regelmatige vierzijdige piramide heeft vier ribben op het grondvlak en vier ribben naar de top van de piramide.
  1. Hoe kan ik de hoek berekenen tussen het grondvlak en een zijde?
  2. Hoe kan ik de hoek berekenen van de ribben tussen twee zijvlakken?

Robert
25-1-2019

Antwoord

Printen
Hallo Robert,
  1. Teken de doorsnede in een vlak door de top en de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden van het grondvlak. Met behulp van goniometrie kan je de gevraagde hoek berekenen.
  2. Je vraag is niet duidelijk: ribben hebben geen hoek. Bedoel je de hoek tussen het grondvlak en een opstaande ribbe? Dan is de aanpak hetzelfde, gebruik een doorsnede in een vlak door twee tegenover elkaar liggende opstaande ribben.
Lees je ook nog even de spelregels?

GHvD
25-1-2019


Re: Hoeken van regelmatige vierzijdige piramide

Met alle formules van school is het berekenen van alle hoeken tussen het grondvlak en de opgaande delen geen probleem.

Tussen twee zijvakken onderling is ook een hoek. Op hoeveel graden staan twee zijvakken ten opzichte van elkaar?

Robert
26-1-2019

Antwoord

Printen
Hallo Robert,

Bepaal een normaalvector op beide vlakken. Met behulp van de definitie van het inwendig product kan je de cosinus van de ingesloten hoek berekenen, en daarmee de hoek tussen deze vectoren.

GHvD
26-1-2019


Re: K bepalen zodat 4 punten coplanair zijn

Dag,

Is er geen makkelijkere manier om dit op te lossen?

Alvast bedankt
Yosra

yosra
10-3-2019

Antwoord

Printen
Hier is gebruik gemaakt van een eigenschap met behulp van determinanten.
Je kunt ook werken zonder determinanten, maar dit is omslachtiger.
Je kunt de vergelijking van het vlak opstellen door de punten A,B en C.
Je bekomt dan :
4.x + (k+2).y + (k-2).z = k2 + 4.k + 12
Punt D moet dan tot dit vlak behoren, dus we vullen D in in deze vergelijking :
4 + k2 + 2.k + p.k -2.p = k2 + 4.k + 12
2.k - p.k + 2.p + 8 = 0
Waaruit :
k.(p-2) = 2.p + 8
en
k = 2.p+4)/p-2
Ok?

LL
10-3-2019


Re: Re: K bepalen zodat 4 punten coplanair zijn

Dag,

Ik snap niet zo goed hoe dat u van de punten A,B en C deze vergelijking(4.x + (k+2).y + (k-2).z = k2 + 4.k + 12
) opstelt.Ik kan het met getallen doen maar ik wet niet zo goed wat ik moet doen als er onbekenden zijn.

Mvg
Yosra

yosra
10-3-2019

Antwoord

Printen
Zoek 2 richtvectoren van het vl(A,B,C). Doe dit door
C - A : (1,-1,1)
C - B : (k,-2,-2)
Stel de parametervergelijkingen (parameters r en s) op en maak hier een stelsel van met r en s als onbekenden, zoals je dat waarschijnlijk gezien hebt in de les.
Maak deze matrix rijcanoniek (los op) en in de derde rij staat in kolom 1 en 2 een nul, het element in de derde kolom moet dus ook nul zijn, om oplossingen te hebben.
Dit geeft dan de gevonden vergelijking.
Lukt het nu?

LL
11-3-2019


Tankberekening

Beste voor een eindwerk wil ik een berekening maken in verband met een aquacultuurvistank. De tank bestaat normaal uit een balk van 7.5m breedte, 1m hoogte en 2 meter breedte. Nu zou de tank moeten worden omgevormd naar een tank waarbij een liner in 1 stuk zou passen zonder plooien. (denk aan een cadeau inpakken, de flappen aan de zijkant, dit moet vermeden worden)

Hierdoor moet de vorm van een balk worden aangepast naar een ruimtelijk figuur met 2 rechthoeken als grond en top oppervlak en de opstaande kanten trapeziums. De totale in houd moet hetzelfde blijven. Kan u mij hierbij helpen?

Kim S
17-3-2019

Antwoord

Printen
Hallo Kim,

Als ik het goed begrijp, ben je op zoek naar een formule om de inhoud van een 'cakevorm' te berekenen. Ik ga uit van een vorm waarvan het grondvlak rechthoekig is met zijden a en b, het bovenvlak is een rechthoek met zijden c en d. De hoogte is h:

q87749img1.gif

Deze figuur is op te delen in enkele standaard figuren, zie de stippellijnen in bovenstaande figuur. Centraal vinden we een balk met afmetingen a, b en h:

q87749img2.gif

De inhoud van deze balk is abh.

Langs de zijden met lengte a vinden we twee wigvormige figuren. Deze schuiven we denkbeeldig tegen elkaar, we vinden een driehoekig prisma:

q87749img3.gif

De inhoud van dit prisma is 1/2(d-b)ah.

Langs de andere zijde van de balk vinden we eenzelfde soort prisma:

q87749img6.gif

De inhoud hiervan is 1/2(c-a)bh.

Tot slot vinden we op de hoeken vier piramides. Ook deze kunnen we tegen elkaar schuiven tot n grotere piramide met een grondvlak van (c-a)x(d-b) en hoogte h. De totale inhoud hiervan is 1/3(c-a)(d-b)h.

q87749img5.gif

Wanneer je al deze inhouden optelt en een beetje herschrijft, dan vind je als formule:

Totale inhoud is 1/6(2ab + 2cd + ad + bc)h

Er is niet een eenduidige oplossing voor jouw vraag: je geeft niet aan hoe schuin de opstaande zijden zijn (ik neem aan dat h 1 meter blijft). Wanneer deze opstaande zijden (bijna) verticaal zijn, dan zijn a en c (bijna) de oorspronkelijke 7.5 meter, b en d zijn (bijna) de oorspronkelijke 2 meter. Hoe schuiner de wanden, hoe meer a en b afnemen en c en d toenemen.

GHvD
17-3-2019


Kruisende rechten

Beste,

Ik moet het volgende bewijzen:

In een geijkte ruimte beschouwt men een rechte e door P1(x1,y1,z1) en met richtingsvector R(a1,b1,c1) en een f rechte door P2(x2,y2,z2) en met richtingsvector S(a2,b2,c2). Bewijs:

e en f zijn kruisend : onderstaande det verschillend is van 0
x1-x2  x1-x2  x1-x2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
Ik dacht dat als we kunnen bewijzen dat ze niet evenwijdig en niet snijdend zijn dat we aangetoond hebben dat ze kruisend zijn.

Voor de evenwijdigheid zouden we de beide richtingsgetallen afhankelijk zijn van elkaar waardoor we dus 2 afhankelijke rijen zouden hebben en de determinant dus gelijk zou moeten zijn aan 0. Dus e en f zijn niet evenwijdig.

Maar hoe dan om aan te tonen dat ze niet snijdend zijn? Of is dit een omslachtige methode en kunnen we direct aantonen dat ze kruisend zijn?

Alvast bedankt.

Dina
17-3-2019

Antwoord

Printen
De eerste rij van je matrix moet waarschijnlijk $(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$ zijn.
Wat je moet uitzoeken is of er getallen $s$ en $t$ bestaan met $(x_1,y_1,z_1)+s(a_1,b_1,c_1) = (x_2,y_2,z_2)+t(a_2,b_2,c_2)$; zo ja: er is een snijpunt, zo nee: er is geen snijpunt.
Die vergelijking kun je ook schrijven als
$$
(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2) + s(a_1,b_1,c_1) - t(a_2,b_2,c_2) = (0,0,0)
$$Als je determinant ongelijk aan $0$ is dan heeft het stelsel geen oplossing en, zoals je opmerkte, de drie vectoren zijn onafhankelijk dus zijn de lijnen niet evenwijdig.
Als je determinant gelijk is aan $0$ en als de twee richtingsvectoren onafhankelijk zijn dan heeft de vergelijking een oplossing.

kphart
18-3-2019


Re: Kruisende rechten

Bedankt voor uw antwoord. Ik vond het ook al vreemd dat daar telkens x1-x2 staat. Zo staat dat in het boek. Dus ik kan er gewoon vanuit gaan dat het foutje is?

Hmm.. ik zie nog niet direct hoe ik s en t kan vinden.

Alvast bedankt.

Dina
18-3-2019

Antwoord

Printen
Ik denk inderdaad dat dat een fout in het boek is.

Wat het tweede betreft: als de determinant gelijk is aan nul dan heeft de vergelijking oneindig veel oplossingen en omgekeerd als de determinant ongelijk aan nul is dan is er geen oplossing. Die stelling zegt in het eerste geval niet hoe $s$ en $t$ er uit zien, alleen maar dat ze bestaan.
In concrete gevallen kun je $s$ en $t$ bepalen door het resulterende stelsel door middel van elimineren op te lossen.

kphart
18-3-2019


Vergelijking bol door 4 punten

Bepaal de vergelijking van de bol door de punten (-3,3,-4), (3,1,-2), (1,1,0) en (-5,5,-4).

Ik heb wel de 4 vergelijkingen maar zeer moeilijk verder te gaan met x2, x, y2, y...

(-3-x)2+(3-y)2+(-4-z)2=r2
(3-x)2+(1-y)2+(-2-z)2=r2
(1-x)2+(1-y)2=r2
(-5-x)2+(5-y)2+(-4-z)2=r2

En nu?

Vannes
27-3-2019

Antwoord

Printen
Dag Diana,

In je derde vergelijking ontbreekt nog een z2 (want (0-z)2 = z2, en niet 0).

Als je een van de vier vergelijkingen van alle andere aftrekt, kan je via het merkwaardig product a2-b2 = (a-b)(a+b) alle paren kwadraten (in resp. x, y en z) vereenvoudigen: de kwadraten vallen weg en je krijgt drie lineaire vergelijkingen in de drie onbekenden x, y en z. Los dat stelsel op en gebruik tot slot nog een van de vier oorspronkelijke vergelijkingen om r te vinden.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
27-3-2019


Wanneer is een bol open of gesloten

Beste wisfaq,
In de tweedimensionale dimensie hebben we de volgende set B((1,2);2), wat betekend het middelpunt van de cirkel is (1,2) met radius 2.

De vraag is om te bepalen of dit een gesloten of open set is?, bovendien of het bounded of unbounded is. En als laatste of het compact is.

hebben jullie een idee hoe je dit moet aanpakken?

Alvast bedankt

Jaap
29-4-2019

Antwoord

Printen
Stap 1: schrijf de correcte definitie van $B((1,2);2)$ op, dat is zeker niet "wat betekent het middelpunt van de cirkel is $(1,2)$ met radius $2$" want dat betekent niets.

Stap 2: schrijf de definitie van `open' en `gesloten' op, die kunnen van boek tot boek verschillen, dus het is belangrijk dat we weten welke definities hier gebruikt worden.

Stap 3: denk na over wat het betekent dat $B((1,2);2)$ aan de definitie van `open' voldoet (of aan de definitie van `gesloten').

Stap 4: probeer nu aan te tonen dat $B((1,2),2)$ aan de desbetreffende definitie voldoet.



Vermoedelijk is $B((1,2);2)$ gedefinieerd als
$$
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{(x-1)^2+y-2)^2} < 2\}
$$En "$U$ is open" als "voor elk punt $(a,b)\in U$ is er een $r > 0$ z dat $B((a,b);r)$ een deelverzameling van $U$ is".

Een bewijs dat $B((1,2);2)$ open is verloopt dat als volgt: neem een (willekeurig) punt $(a,b)$ in $B((1,2);2)$, maak hierbij een $r > 0$ met de eigenschap dat $B((a,b);r)\subseteq B((1,2),2)$; hierbij zul je gebruik moeten maken van het feit dat $\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2} < 2$. Als je die $r$ moet je netjes bewijzen dat hij doet wat hij doen moet.

kphart
29-4-2019


Vectorieel bewijzen

Kan iemand mij alstublieft helpen met deze oefening?
Alvast bedankt!

Beschouw het hiernaast afgebeelde parallellepipedum
  1. Bewijs vectorieel dat de zwaartepunten van het viervlak OABC, het viervlak ODGE, de driehoek ABC en de driehoek DGE alle op de rechte OF liggen. Welk zwaartepunt valt samen met het middelpunt van het parallellepipedum?
  2. Bepaal de vectorile vergelijkingen van de vlakken ABC en DGE en bewijs dat deze vlakken evenwijdig zijn.

Jordy
3-5-2019

Antwoord

Printen
Omdat je een parallellepipedum hebt geldt, onder meer $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$ en $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OF}$ (gebruik de kop-staartmethode maar).

Verder is $\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ de plaatsvector van het zwaartepunt van driehoek $ABC$, en is $\frac14(\overrightarrow{OO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ de plaatsvector van het viervlak $OABC$, en evenzo voor $DGE$ en $ODGE$.

Daar kun je opgave a mee doen.

Voor opgave b het vlak door $ABC$ heeft $\overrightarrow{OA}$ als steunvector en $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{AC}$ als richtingsvectoren; iets dergelijks geldt voor $DGE$, neem $G$ als steunvector en $\overrightarrow{GD}$ en $\overrightarrow{GE}$ als richtingsvectoren. De richtingsvectoren zijn twee aan twee parallel.

kphart
3-5-2019


Re: Vectorieel bewijzen

Beste,

Zeer bedankt voor uw antwoord!
Voor a:
Als ik het goed heb is 1/3(D+G+E) de plaatsvector van het zwaartepunt van driehoek DGE en 1/4(O+D+G+E) de plaatsvector van het viervlak ODGE.
De plaatsvector van bijvoorbeeld driehoek ABC is dan gelijk aan 1/3OF, dus betekent het dat het op OF ligt? En hoe komt kunt u dat afleiden dat het dan op OF ligt?
Vervolgens is er een vraag over welk zwaartepunt samenvalt met het middelpunt van het parallellepipedum. Kunt u mij hierbij helpen alstublieft?

Voor b:
"De richtingsvectoren zijn twee aan twee parallel." Wat bedoelt u hiermee eigenlijk?

Nogmaals ontzettend bedankt.

Jordy
3-5-2019

Antwoord

Printen
Ja, de punten op het lijnstuk $OF$ hebben allemaal een plaatsvector van de vorm $t\overrightarrow{OF}$, met $0\le t\le1$.
Het middelpunt van het parallellepipedum heeft $\frac12\overrightarrow{OF}$ als plaatsvector, als je de plaatsvectoren van alle vier zwaartepunten bepaald hebt weet je dus welke met dat middelpunt samenvalt.

Kijk naar je plaatje: $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{GE}$ zijn parallel, en $\overrightarrow{AC}$ en $\overrightarrow{GD}$ ook.

kphart
4-5-2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb