De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Ruimtemeetkunde

Kentallen

Het lukt me niet P weer te geven met kentallen zou ik mischien te moeilijk denken:

Teken een regelmatige 4-zijdige piramide TABCD mrt hoogte 4 en grondribbe.
Neem het snijpunt van de diagonalen van het het grondvlak als oorsprong, de z-as langs TO, de x-as evenwijdig aan BC en de y-as evenwijdig aan AB.
P ligt op BT, zidanig dat TP:PB=1:3
Schrijf Op met kentallen ik heb evt. Mijn tekening opgestuurd.

Mboudd
6-1-2020

Antwoord

Printen
Om te beginnen: de kentallen van de hoekpunten van het grondvlak zijn $(\pm2,\pm2,0)$ (aangenomen dat de grondribbe inderdaad $4$ lang is). De kentallen van $B$ liggen niet helemaal vast want zowel $B=(-2,-2,0)$ en $C=(2,-2,0)$ als $B=(2,2,0)$ en $C=(-2,2,0)$ zijn nog mogelijk.
In je plaatje hebben we de tweede mogelijkheid zo te zien.
De ribbe $BT$ heeft lengte $4$ en het lijnstuk $OB$ heeft lengte $2\sqrt2$; met Pythagoras volgt $OT=2\sqrt2$ (dus $T=(0,0,2\sqrt2)$).
Ten slotte: $BP=\frac34BT$, dus de plaatsvector van $P$ is gelijk aan $\frac34(t-b)+b=\frac34t+\frac14b$.
Nu moet je het allemaal uit kunnen rekenen.

kphart
6-1-2020


Een kubus

Ik moet de volgende kubus tekenen DEFG·ABCO met kentallen van A, C en G respectievelijk: (6,0,0), (0,6,0) en (0,0,6). Dat is gelukt. Alleen ik weet niet hoe ik de vlakken hier moet tekenen. De vraag is:

Teken hierin de vlakken x=2 , het vlak y=3, het vlak y=x en het vlak z=1 ik heb mijn tekening opgestuurd

Ik moet ook een vv opstellen van een lijn in een kubus ABCO DEFG als OA=a, OB=b, OC=c en OG=g.

Geef een vectorvoorstelling
van de lijn x=2 in OABC
van de lijn y=x in OABC
van de lijn z=1 in OCFG en
van de dragers van de ribben DG, FC en EF.

Kan iemand me helpen aub?
Alvast bedankt!

mboudd
7-1-2020

Antwoord

Printen
Voor de punten van het vlak $x=2$ is de $x$-coördinaat gelijk aan 2. Zoek een aantal punten op de ribben met $x=2$.

q88967img1.gif

Het vlak kan je dan zo tekenen:

q88967img2.gif

Idem voor $y=3$ en $z=1$

Voor het vlak $y=x$ moet je op zoek naar punten waarbij de x- en y-coördinaat gelijk is.

q88967img3.gif

Dat geeft:

q88967img4.gif

Voor de vectorvoorstelling van een lijn heb je een steun- en een richtingsvector nodig.

Vooe de lijn $x=2$ in het grondvlak kan je (2,0,0) nemen als steunvector. De lijn loopt dan door dit punt evenwijdig aan $OC$. Dat is dat de vector (0,1,0) als richtingsvector. De vectorvoorstelling zou kunnen zijn:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}} \right)
$

Voor de lijn $y=x$ in het grondvlak, de lijn $z=1$ en voOr de dragers van DG, FC en EF volg je dezelfde procedure. Laat maar 's zien of dat lukt! Gebruik eventueel de tekeningen in het PDF dat je hieronder kan downloaden.
Zie Negen keer een kubus in een PDF

WvR
7-1-2020


Re: Een kubus

Hi, ik heb de vlakken van y=3 en z=1 getekend en een vectorvoorstelling van het vlak z=1 in OCGF opgesteld.

Ik snap niet wat ze bedoelen met de dragers van DG. Ik zie in het antwoord heel andere soort antwoorden.

mboudd
8-1-2020

Antwoord

Printen
Ze lijn $z=1$ ligt in vlak $OCFG$.

q88972img1.gif

Voor een vectorvoorstelling heb je een steun- en een richtingsvector nodig. Je neemt als steunvector (0,0,1). Dat is prima. De richtingsvector wordt dan bijvoorbeeld (0,1,0). Ga maar na!

Nu zijn er natuurlijk nog heel veel meer antwoorden mogelijk, maar deze ligt het meest voor de hand:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}} \right)
$

Een drager is de lijn die door een lijnstuk loopt. De drager van $DG$ is dan de lijn door de punten $D$ en $G$. Kies weer een steun- en een richtingsvector. Er zijn weer heel veel mogelijkheden maar ik zou deze nemen:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
6 \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}} \right)
$

Zoals gezegd zijn er meerdere goede antwoorden mogelijk. Zorg ervoor dat je steunvector op de lijn ligt en dat de richtingsvector op een factor na hetzelfde is als bij het antwoord.

Succes!

WvR
8-1-2020


Tekenen van een 4-zijdige piramide

Ik weet niet wat ze precies bedoelen of anders gezegd hoe ze deze 4-zijdige piramide willen hebben bij de volgende opgave kan iemand me helpen ?

Geef een vectorvoorstelling uitgedrukt in OA=a, OC=c en OT=t van de dragers van de ribben AB, TB en TA van een 4-zijdige piramide T.OABC met A op de x-as, C op de y-as en T boven het midden van het grondvlak OABC. Het grondvlak is een vierkant gelegen in het xOy-vlak.

mboudd
9-1-2020

Antwoord

Printen
q88982img1.gif

Je zoekt steeds naar een geschikte steun- en richtingsvector.

AB = a + $\lambda$c
Dat ging nog wel...

TB = (a+c) + $\mu$...

En dan:
TA = a + $\rho$...

De vraag is nu kan je de richtingsvectoren bij TB en TA uitdrukken in a, b en t?

Probeer!

WvR
9-1-2020


Re: Tekenen van een 4-zijdige piramide

Ik kan het proberen:

TB=(a+c)+m(-t)
TA=a+rt

mboudd
9-1-2020

Antwoord

Printen
q88982img1.gif

$TB$
Met $a+c$ zit je in het punt $B$. Nu moet je in de richting van $T$, maar dat is niet $-t$. Dat moet anders...
Je kan vanuit $B$ via $-a$, $-c$ en $t$ naar $T$. Dat moet hem zijn!

$TA$
Met $a$ zit je in punt $A$. Nu moet je in de richting van $T$, maar dat is niet $t$. Hoe kom je nu van $A$ in $T$?

Zou dat lukken?

WvR
9-1-2020


Re: Re: Tekenen van een 4-zijdige piramide

Ok.
Dan wordt het: TB=(a+c)+m(-a-c+t)
Van A naar AT=t-a dan wordt het TA=a+r(t-a).

mboudd
9-1-2020

Antwoord

Printen
Kijk! Helemaal goed...

WvR
9-1-2020


Bollen

Een houtenbak heeft een bodem van 1m op 1m en een hoogte van 1 dm (telkens binnen afmetingen). Drie vrienden bespreken hoe ze zoveel mogelijk bollen van 1 dm diameter in deze bak krijgen, zodat elke bol op de bodem rust.
  • 'Het is evident dat er 100 ingaan', zegt Renée.
  • 'Ik krijg er 105 in', zegt Karel na een minuutje.
  • 'En ik krijg er 106 in', zegt Daniël na nog een tijdje.
Hoe gaat men te werk om 105 bollen in de bak te krijgen en hoe gaat men te werk om er 106 in te krijgen?

Samson
17-1-2020

Antwoord

Printen
Als je er 106 in kan krijgen dan lukt 105 ook wel. Maar volgens mij zijn dit er wel 106:

q89027img1.gif

Maar een plaatje is natuurlijk nog geen bewijs, dus je moet het nog wel even narekenen!

WvR
17-1-2020


Wiskundige notaties in de klassieke meetkunde

Ik ben wiskunde docent in opleiding en hiervoor het vak Meetkunde aan het doen. Ik snap de tekst en het ruimtelijke beeld etc, echter ben ik niet bekend met de notaties die ze gebruiken.

Ik heb het geprobeerd op te zoeken, maar je krijgt niet zoveel zinnigs uit Google als je een teken probeert te beschrijven ;-)

Het volgende staat in het boek:
Een affiene ruimte bestaat uit een (niet–lege) verzameling A, een vectorruimte V en een afbeelding:



Mijn vraag gaat dus over de notatie van de onderste regel. Er staat nog meer informatie in het boek met betrekking tot deze afbeelding, maar omdat het hier dan erg langdradig wordt heb ik enkel dit uitgetypt. Mocht dit toch nodig zijn, hoor ik het graag. P is in ieder geval element van A en v is element van V

Ik heb de vragen hieronder even genummerd.

1. Wat betekent die x? in mijn hoofd lees ik het uitproduct maar dat zal hier wel niet het geval zijn.

2. Ik neem aan dat de pijltjes iets zeggen over 'waarop' de afbeelding is afgebeeld? Het tweede pijltje is net iets anders dan de eerste en heeft een (klein) verticaal staafje aan het begin van de pijl. Zoiets /$\to$ (maar dan verticaal)
Wat betekenen ze precies?

3 Wat betekent A,(v,P)? Is (v,P) hier het inproduct van v met P?

4. En dan natuurlijk v $
\oplus
$ P nog. Is dit een gewone 'plus'? Als in de termen in de vectoren worden bij elkaar opgeteld?

Hopelijk is mijn vraag duidelijk :)

Marloe
19-1-2020

Antwoord

Printen
1. De $\times$ staat voor Cartesisch product: $V\times A$ is de verzameling geordende paren $(v,P)$ met $v\in V$ en $P\in A$.

2. De eerste pijl $\to$ geeft aan dat er een (anonieme) afbeelding van $V\times A$ naar $A$ gedefineerd wordt; de tweede pijl $\mapsto$ geeft aan wat met een individueel element van $V\times A$ gebeurt: het beeld van $(v,P)$ is $v\oplus P$. Zo definieer ik ook wel eens functies: "$f:[0,1]\to[0,1]$ gedefinieerd door $f:x\mapsto x^2$".

3. Dat is slechte type-setting: er zou (veel) meer ruimte tussen de eenheden "$V\times A\to A$," en "$(v,P)\mapsto v\oplus P$" moeten staan (en hierboven is al verteld dat $(v,P)$ een geordend paar is).

4. De $\oplus$ is eigenlijk de anonieme afbeelding die ik hierboven noemde; er had ook kunnen staan: "een afbeelding $f:V\times A\to A$, waarbij we $f(v,P)$ noteren als $v\oplus P$". Op dat moment betekent $\oplus$ nog niets, hoewel de plus sterk iets als optellen suggereert. Belangrijk zijn de eisen die daarna volgen: (a), (b) en (c); als $\oplus$ aan die eisen voldoet mag je van een affiene ruimte spreken (en anders niet).

Er hadden we wat voorbeelden mogen staan. Neem $V=\mathbb{R}$ en voor $A$ de lijn in het vlak met vergelijking $2x+3y=5$. Definieer $f:\mathbb{R}\times A\to A$ door $f(r,v)=v+r(3,-2)$ (dus $r\oplus(x,y) = (x+3r,y-2r)$). Dit voldoet aan alle eisen, ga maar zorgvuldig na.

kphart
20-1-2020


Vlakken zien in een kubus

Bij de volgende opgave heb ik mijn tekening opgestuurd en geprobeerd de bijbehorende vragen te beantwoorden. Sommige vectorvoostellingen van vlakken vind ik te complex en kom ik ook niet tot een vectorvoorstelling het antwoord achterin. Van de vectorvoostelling van de vlakken die gevraagd worden kan ik niet begrijpen. Kan iemand me hier bij deze opgave aub helpen?

Teken een kubus EFGH ABCD op een orthonormale basis. kies D als oorsprong en leg de assen langs OA=a, OH=b en OC=c.

Geef een vectorvoorstelling van:

a. De zijvlakken EFGH en BCGF
b. De vlakken BOG en EBCH
c. De vlakken OBFH en ACGE

Bij a. komt er uit:

v = b + la + mc en v = c + la + mb

Dit kan nog enigzins inzien.

Bij b. en c. komen de volgende vv's eruit wat ik dus moeilijk inzie:

b. v = l(b+c) + m(a+c) en v = b + la + m(c-b)
c. v = lb + m(a+c) en v = a + l(c-a) + m(b+2c)

mboudd
20-1-2020

Antwoord

Printen
Ik zal b. doen en dan kan je zelf c. nog 's proberen:

q89062img1.gif

Als je in O/D staat zijn er in het vlak 2 (handige) richtingen aan te geven: OG en OB.

OG = b + c
OB = a + c

$
vlak(BOG) = \lambda \left( {b + c} \right) + \mu (a + c)
$

q89062img2.gif

Vanuit C zijn er twee (handige) richtingen aan te geven: CB en CH.

CB = a
CH = -c + b of CH = b – c

$
vlak(BCGF) = c + \lambda a + \mu \left( {b - c} \right)
$

Maar er zijn meer wegen die naar Rome leiden, dus je moet niet verbaasd zijn dat je antwoord niet precies overeenkomt met het antwoordenboekje. Maar hopelijk kan je misschien wel zien of je eigen antwoord klopt. Je hebt dan geen antwoord uit het antwoordenboekje nodig. Vertrouw op jezelf...

Ik gooi er nog wat plaatjes in en dan kan je c. zelf nog 's proberen. Ik hoor het wel...

q89062img3.gifq89062img4.gif

WvR
20-1-2020


Re: Vlakken zien in een kubus

Ok. Voor c, heb ik inderdaad dezelfde voor OBFH als in het antwoord. Ik geef een alternatief :

v = l(a+c) + mb

Voor ACGE heb ik wel een meteen een aalternatief als in het antwoordenboek dat is:

v = a + l(c-a) + mb.

Zijn deze alternatieven wel goed?

mboudd
20-1-2020

Antwoord

Printen
Ze zijn beide goed. Well done!

WvR
20-1-2020


Snijpunt tussen een lijn en een vlak

Op een orthnormale basis is gegeven de piramide C.OADB waarvan het grondvlak een rechthoek is. a, b en c zijn plaatsvectoren van A, B en C. M is het midden van OC.
  • Bepaal een vectorvoorstelling van vlak ABC.
Hierbij had ik v=a+l(b-a)+m(c-b) wat zij ook hebben.
  • Bepaal de plaatsvector s van het snijpunt S van de lijn DM met vlak ABC.
Nu is het zo dat voor de lijn DM een andere vector voorstelling heb dan zij en derhalve ook een ander snijpunt. Ik heb geprobeerd mijn vectorvoorstelling te herzien en hun vector voorstelling te begrijpen maar dat lukt me helaas niet.

Ik had als vector voorstelling van lijn DM: (a+b)+e(c/2). Zij hebben (a+b)+e(a+b-c/2). Dat kan ik niet uit de tekening van mij op maken die ik heb opgestuurd kan iemand mij mischien hier op weg helpen?

mboudd
23-1-2020

Antwoord

Printen
Je hebt als vector voorstelling van lijn DM: (a+b)+e(c/2) genomen maar dat klopt niet. Met a+b zit je in D, jij gaat nu met c/2 recht omhoog maar dat klopt niet. Je moet eerst naar O (dat is -a-b) en dan c/2 omhoog.

Dus lijn(DM) = a + b + $\lambda$(-a-b+c/2)

In plaats van -a-b+c/s kan je echter ook a+b-c/2 nemen. Dat is dezelfde vector maar dan in tegengestelde richting, maar dat is niet erg want dat geeft dezelfde lijn.

Helpt dat?

WvR
23-1-2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb