De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rijen en reeksen

Moessner`s magie

Geachte

Als onderzoek heb ik 'Moessner's magie' gekregen als onderwerp. Mijn vraag is of er ook toepassingen voor zijn in het dagelijkse leven?

Dank bij voorbaat

Jonas
10-1-2018

Antwoord

Printen
Had je Wiskunde en het dagelijks leven al gezien?

In dit geval lijkt het mij dat het de bedoeling is dat je 't vooral zelf probeert uit te zoeken en gaandeweg nog iets leert. Lees de spelregels er nog maar 's op na. We willen best helpen bij concrete wiskundige problemen maar er zijn grenzen.

In dit geval kan het best zijn dat de stelling van Moessner vooral een rol speelt bij andere wiskunde, bijvoorbeeld bij bewijzen m.b.t. rijen en reeksen. Ik zag een aantal keren de term 'coinductie' voorbij komen, maar dat is voor nietwiskundigen waarschijnlijk niet direct iets waar ze dagelijks mee te maken hebben.

Kortom: concrete vragen? Dat is prima! Maar verder... zelf doen!
Zie Stelling van Moessner

WvR
14-1-2018


Somformule bij rekenkundige en meetkundige rij

Ik begrijp een oefening niet. De igaat als volgt:

ĎEen bol rolt van een hellend vlak dat 100m lang is. Tijdens de eerste seconde legt hij 1 m af, 2de 3 m en 3de 5 m enz. In hoeveel tijd legt de bol de hellende weg af?'

Hoe moet ik dit berekenen want heb het al geprobeerd maar mijn antwoord was fout Help me aub

Tania
18-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Tania,

Jammer dat je jouw berekening niet meestuurt, dan hadden we beter kunnen zien wat jouw aanpak is en waar jouw vergissing zit. Nu kan ik alleen maar aangeven hoe ik de vraag zou aanpakken.

Er zijn verschillende manieren om dit vraagstuk op te lossen. Uit het onderwerp van je vraag maak ik op dat het de bedoeling is om gebruik te maken van een somformule van rijen. Dat kan zo:

De afgelegde afstanden in elke seconde vormen een rekenkundige rij. Ik noem de termen van deze rij a, dan ziet deze rij er zo uit:
  index:  1  2  3  4  5  ...     n
afstand: 1 3 5 7 9 ... 1+2(n-1)
De formule voor term an is:

an = 1+2(n-1)

De afgelegde weg na n seconden is de som van de eerste n termen. Voor deze som hebben we ook een formule. In woorden is dit:

Som van n termen is 1/2 keer aantal termen keer (eerste + laatste term).

Hier is dit dan:
Sn = 1/2∑n(a1+an)

We weten: a1=1 en an = 1+2(n-1)
Dit vullen we in de somformule in:
Sn = 1/2∑n(1 + 1+2(n-1))

Beetje netter schrijven:
Sn = 1/2∑n(2 + 2n-2)
Sn = 1/2∑2n2
Sn = n2

De afgelegde weg is 100 meter. Je moet dus oplossen:
n2 = 100

Wanneer je n weet, dan weet je hoeveel seconden nodig zijn om deze 100 meter af te leggen.

GHvD
19-1-2018


Re: Somformule bij rekenkundige en meetkundige rij


Dag Gilbert,
graag wat uitleg over de term ; 1+2(n-1). Heb soms moeite met zulke dingen....
Groetjes
Rik

Lemmen
19-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Rik,

Het gaat om deze rij getallen (de termen):

1, 3, 5, 7, 9, ...

Elke term vinden we door bij de voorafgaande term 2 op te tellen. Bijvoorbeeld:

De vierde term vinden we door de eerste term te nemen, en vervolgens drie 'stappen' naar rechts te zetten, dus drie keer 2 op te tellen. In formule:

a4 = 1 + 3∑2

Voor de vijfde term nemen we de eerst term plus vier keer 2:

a5 = 1 + 4∑2

Meer algemeen: voor de ne term nemen we de eerste term plus (n-1) keer 2:

an = 1 + (n-1)∑2
ofwel:
an = 1+2(n-1)

GHvD
19-1-2018


CoŽfficiŽnt berekenen

CoŽfficiŽnt berekenen van x9 in (x2-2x)6. Kan je mij hiermee helpen, aub? Ik weet wel hoe ik het moet oplossen, maar door dat minteken gaat alles fout bij mij.

Tim
23-1-2018

Antwoord

Printen
Ergens in de uitwerking van $(x^2-2x)^6$ staat:

$
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)\left( {x^2 } \right)^{6 - p} \cdot \left( { - 2x} \right)^p + ...
$

De kunst is nu om te achterhalen wat $p$ is:

$
\begin{array}{l}
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)\left( {x^2 } \right)^{6 - p} \cdot \left( { - 2x} \right)^p + ... \\
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)x^{12 - 2p} \cdot ( - 2)^p \cdot x^p + ... \\
... + \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
p \\
\end{array}} \right)x^{12 - p} \cdot ( - 2)^p + ... \Rightarrow p = 3 \\
\end{array}
$

De coŽfficiŽnt wordt dan:

$
c_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c}
6 \\
3 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( { - 2} \right)^3 = 20 \cdot - 8 = - 160
$

Opgelost?

WvR
23-1-2018


Middelste term berekenen

Middelste term berekenen van (a3 + 9b)12. Kan je dat met binomium oplossen? Dat lukt mij niet...

Koen
23-1-2018

Antwoord

Printen
De termen lopen van $0$ tot en met $12$. Dat zijn $13$ termen met de middelste nummer $7$ en daarbij hoort $k=6$. Deze term ziet er zo uit:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{12} \\
6 \\
\end{array}} \right) \cdot \left( {a^3 } \right)^6 \cdot \left( {9b} \right)^6
$

Uitwerken geeft:

$
924 \cdot a^{18} \cdot 9^6 \cdot b^6 = {\rm{491051484}}a^{18} b^6
$

Helpt dat?

WvR
23-1-2018


Een directe formule opstellen

Ik kom absoluut niet uit deze som.

De recursieve formule is:

u(n) = $\frac{1}{2}$(u(n-1)-1)+2

De eerste 5 termen zijn 2 - 2,5 - 2,75 - 2,875 - 2,9375

Ik moet nu dus zelf de directe formule geven, maar ik ben al uren bezig om die te berekenen en ik snap het maar niet.

Beyonc
1-2-2018

Antwoord

Printen
Dit is een voorbeeld van een differentievergelijking:

q85664img1.gif
Uit de voormalige formulekaart

Je kunt $
u(n) = \frac{1}
{2}\left( {u(n - 1) - 1} \right) + 2
$ schrijven als:

$
u(n) = \frac{1}
{2}u(n - 1) + 1\frac{1}
{2}
$

Je kent de waarde van a, b en u(0), dus dan is het vooral een kwestie van invullen:

$
\eqalign{
& a = \frac{1}
{2} \cr
& b = 1\frac{1}
{2} \cr
& u(0) = 2 \cr
& u(n) = \frac{{1\frac{1}
{2}}}
{{1 - \frac{1}
{2}}} + \left( {2 - \frac{{1\frac{1}
{2}}}
{{1 - \frac{1}
{2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr
& u(n) = 3 + \left( {2 - 3} \right) \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr
& u(n) = 3 - \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \cr}
$

Opgelost?

WvR
1-2-2018


Meetkundige reeks

Goedemorgen,

Bij de volgende opdrachten loop ik een beetje vast bij de uitwerking. Hopelijk kunt u mij verder helpen.

a. 10 + 10 x 1,2 + 10 x 1,22+...+10 x 1,2n-1 is een
meetkundige reeks met n termen, bepaal de som.
De beginterm (a) = 10 en de reden (r) = 1,2
Som = a1-rn/1-r
Som = 101-1,2n/1-1,2

Tot hier snap ik de uitwerking, maar ik snap niet hoe je vervolgens naar het antwoord 101,2n-1/0,2 = 50(1,2n-1) komt. Zou u mij dit uit kunnen leggen?

Alvast bedankt!

B
6-2-2018

Antwoord

Printen
Je doet wel iets vreemds. Machtsverheffen in plaats van vermenigvukdigen. De som van een meetkundige rij is:

$
\eqalign{\sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{u_0 \left( {1 - r^{n + 1} } \right)}}
{{1 - r}}}
$

Invullen geeft dan:

$
\eqalign{
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{u_0 \left( {1 - r^{n + 1} } \right)}}
{{1 - r}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1 - 1,2^{n + 1} } \right)}}
{{1 - 1,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1 - 1,2^{n + 1} } \right)}}
{{ - 0,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = \frac{{10\left( {1,2^{n + 1} - 1} \right)}}
{{0,2}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k } = 50\left( {1,2^{n + 1} - 1} \right) \cr}
$

...maar dat laatste stuk zal het probleem niet (mogen) zijn.

WvR
6-2-2018


Inverse Taylorreeks

Beste,

Tijdens het maken van mijn wiskundeopdrachten ben ik erachter gekomen dat je een product bijvoorbeeld (x-1)4 kan omschrijven naar een som. (In dit geval 1-4x+6x2-4x3+x4). Ik ben hiervan uitgegaan van x=0 als startpunt (Maclaurin-reeks). Nu was mijn vraag aan u is het mogelijk om deze stap andersom uit te voeren. Oftewel bestaat er een inverse taylorreeks.

Graag hoor ik van u.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin
7-2-2018

Antwoord

Printen
Als je bedoelt: kun je systematisch $(x-1)^4$ uit die som terugvinden, dan ja: schrijf elke $x$ als $x-1+1$ en schrijf dan elke macht van $x$ uit: $x^2=(x-1+1)^2=(x-1)^2+2(x-1)\cdot1+1^2$ enzovoort, na wat werk zul je zien dat inderdaad $(x-1)^4$ overblijft.

kphart
7-2-2018


Re: Inverse Taylorreeks

Beste,

Nu nam ik (x-1)4 als voorbeeld om mijn probleem uit te leggen. Maar is het systematisch terug vinden van het product even eenvoudig voor sommen zoals x4+a4 of x4-4x3+2x2+4x+4.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin
11-2-2018

Antwoord

Printen
De vraag is ook: wat bedoel je met `inverse Taylorreeks'?
  • bedoel je: van een som weer een macht maken? Dan nee, niet elk polynoom is een macht van ťťn enkele factor.
  • bedoel je: van een som een product van factoren van de vorm $x-a$ maken? Dan ja, maar dat heeft niets met Taylorreeksen te maken, dat gaat om het zoeken van de nulpunten en daarmee ontbinden in factoren.
  • wat ik in het antwoord gedaan heb is van je som een Taylorpolynoom maken met een ander centrum, in dat geval $1$. Zelf noem ik dat wel eens `opschuiven'. Dat kan algebraisch, door telkens $x$ te vervangen door $x-a+a$ en dan alle machten uitvermenigvuldigen, en dat kan ook analytisch, door de formules voor Taylorpolynomen en -reeksen te gebruiken.
  • maar goed: wat bedoel je echt met `inverse Taylorreeks'?

Zie Wikipedia: stelling van Taylor

kphart
12-2-2018


Re: Re: Inverse Taylorreeks

Beste,

Wat ik bedoel met de inverse Taylorreeks is in feite het omzetten van een som naar een product. U gaf mij een mogelijkheid van oplossing voor 1-4x+6x2-4x3+x4. Echter vind ik het vinden van bijpassend product voor een som moeilijker wanneer de polynoom langer wordt.

Nu vond ik dat de Taylorreeks van een product een som maakt.(Als ik weer mijn voorbeeld pak (x-1)4=1-4x+6x2-4x3+x4). Vandaar mijn vraag of er een inverse Taylorreeks bestaat die de som kan omzetten in een product. Maar dan voor alle soorten polynomen. Zoals het voorbeeld van x4-4x3+2x2+4x+4.

Ik bedoel mijn vragen over de inverse Taylorreeks puur hypothetisch, dan het daadwerkelijk uitvoeren ervan.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin
20-2-2018

Antwoord

Printen
Voor het maken van een som heb je de Taylorformules niet nodig; gewone algebra volstaat.

Van een product een som maken heet gewoon: vermenigvuldigen.
Van een som een product maken noemen we wel factoriseren (of ontbinden), en zoals in het eerdere antwoord gezegd komt dat neer op het vinden van nulpunten.

Binnen de complexe getallen lukt dat, in theorie, altijd: de Hoofdstelling van de Algebra zegt dat elk complex polynoom in lineaire factoren te ontbinden is. ReŽle polynomen kun je ook ontbinden maar sommige van de factoren zijn kwadratisch en niet verder te ontbinden. Denk aan $x^2+1$, reŽel niet verder te ontbinden, complex wel: $(x-i)(x+i)$.
Zie Wikipedia: Fundamental Theorem of Algebra

kphart
20-2-2018


Hoe weet je dat elke Cauchy-rij convergent is?

Zou iemand kunnen uitleggen: Is elke Cauchy-rij convergent in de deelverzameling R. Normaal moet dit een eigenschap zijn van de Cauchy-rij. Heb gevonden dat dit de volledigheid in R is? Klopt dit? Hoe kan ik dit makkelijk aantonen en graag een voorbeeldje zodat ik het beter begrijp?

Amy
5-3-2018

Antwoord

Printen
Ja, elke Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ is convergent, en dat betekent, per definitie, dat $\mathbb{R}$ (metrisch) volledig is.
Het bewijs berust op de orde-volledigheid van $\mathbb{R}$.
Laat $(a_n)_n$ een Cauchy-rij in $\mathbb{R}$ zijn.
Stap 1: bewijs dat de verzameling $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ begrensd is. Hier pas je de Cauchy-eigenschap toe met $\epsilon=1$: er is een $N$ zo dat $|a_n-a_N| $<$ \epsilon$ voor $n\ge N$. Neem $M=\max\{1,|a_1-a_N|,\dots,|a_{N-1}-A_N|\}$; dan $a_N-M\le a_n\le a_N+M$ voor alle $n$.
Stap 2: bekijk de verzameling $A$ van $x$-en in $\mathbb{R}$ met de eigenschap dat er een $N_x$ is (afhankelijk van $x$) met $a_n $>$ x$ voor $n\ge N_x$. Die verzameling is niet leeg (elk getal kleiner dan $a_N-M$ zit in $A$) maar $a_N+M$ zit er niet in. Het getal $a_N-1$ hierboven zit ook in $A$.
Stap 3: neem het supremum van $A$ (de kleinste bovengrens), noem dat $a$. Dan geldt $a=\lim_n a_n$. Neem maar $\epsilon $>$ 0$ en neem $N_1$ en $N_2$ z\'o dat voor $n,m\ge N_1$ geldt $|a_n-a_m| $<$ \epsilon/2$ en voor $n\ge N_2$ geldt $a_n $>$ a-\epsilon$ (want $a-\epsilon$ zit in $A$). Omdat $a+\epsilon/2$ niet in $A$ zit is er een $m\ge\max\{N_1,N_2\}$ met $a_m\le a_\epsilon/2$. Dan volgt dat $a_n$<$a+\epsilon$ voor $n\ge\max\{N_1,n_2\}$.

Dit is zo ongeveer het eenvoudigste bewijs dat ik kan bedenken. `Eenvoudige' voorbeelden van Cauchyrijen zijn meestal overduidelijk convergent. Cauchyrijen worden vooral indirect gebruikt bij het bewijzen van stellingen.

Zie Wikipedia:Cauchyrij

kphart
5-3-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb