De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rekenen

Groter van een kleiner getal aftrekken

46-79=-33.
Maar 46-79= 67-102.
67 krijg ik door aftrekken onder elkaar met lenen.
Hoe valt 102 wiskundig te verklaren?

herman
30-12-2017

Antwoord

Printen
Hallo Herman,

Je vergissing zit in het 'aftrekken met lenen' wanneer het onderste getal groter is dan het bovenste getal. Als ik je goed begrijp, is jouw redenatie:
  • 6 min 9 gaat niet: je leent 1 van het cijfer dat voor de 6 staat.
    Je krijgt dan: 16-9=7.
  • De 4 die voor de 6 staat, is nu een 3 geworden.
  • Nu moet je doen: 3 min 7. Dat gaat niet, je zou weer 1 moeten lenen. Je zou dan krijgen: 13-7=6
  • Maar: er staat geen cijfer meer voor de 4 (die nu een 3 is geworden). Er valt dus niets te lenen.
    Jij lost dit op door daar 'gewoon' een 1 neer te zetten, maar dat is niet juist.
Dat cijfer 1 dat jij tevoorschijn tovert, staat op de derde plaats vanaf rechts. Dat zijn honderdtallen. Je hebt je bovenste getal dus stiekem 100 groter gemaakt! In plaats van 46-79 bereken jij 146-79. Jouw 102 (ofwel: 100) is dus niet wiskundig te verklaren, het is een gevolg van een vergissing van jou.

Is het nu duidelijker?

GHvD
1-1-2018


Re: Kwadrateren van negatieve getallen

Is niet echt logisch. -8 is een getal uit de verzameling Z (.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) en zou je dus als zodanig lezen, niet ingewikkelder lezen als het getal 8 met een minteken bewerking ervoor. Als je -82 schrijft dan bedoel je het kwadraat van -8 en niet -(8)2 = -(82). 102 is ook geen 1(0)2 = 0

Is er historische informatie over wanneer is besloten dat negatieve getallen als - bewerking op positief getal moet worden gelezen?

Jaco
12-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Jaco,

Het minteken heeft als symbool een dubbele rol:
  • In $a-b$ is het een binaire bewerking, dus op twee getallen ("van het getal $a$ het getal $b$ aftrekken").
    Volgens de rekenregels over de volgorde van de bewerkingen heeft machtsverheffing voorrang op optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen, zodat iets als $a-b^2$ betekent dat je van het getal $a$ het getal $b^2$ aftrekt: $10-3^2=10-9=1$.
  • In $-a$ is het een unaire bewerking, dus op slechts n getal ("het tegengestelde van het getal $a$") en dan is $-a$ negatief als $a$ positief is en vice versa.
    Je zou in deze context de afspraak kunnen maken dat je met $-a^2$ het kwadraat van het getal $-a$ bedoelt, maar dat is niet de geldende conventie binnen de wiskunde. De gangbare afspraak is dat $-a^2$ het tegengestelde van het getal $a^2$ betekent.
Merk op dat de afspraak op deze manier in beide gevallen samenvalt, zo kan je $-a^2$ immers ook interpreteren als $0-a^2$ en dan geldt de eerste interpretatie van de binaire operatie. Je hebt ook het voordeel dat je voor $-(a^2)$ nu de beknoptere notatie $-a^2$ kan gebruiken, want voor $(-a)^2$ is die minder relevant aangezien er voor kwadraten in elk geval geldt dat $(-a)^2=a^2$.

In wiskundige context zal met $-a^2$ steeds de hierboven beschreven interpretatie bedoeld worden en dus geldt dan ook $-8^2=-64$. Toch is het de moeite om op te merken dat er inderdaad software en programmeertalen bestaan waar het onderscheid tussen de binaire operator (in $a-b$) en unaire operator (in $-a$) in deze context gemaakt wordt en waarbij wl de conventie $-a^2=(-a)^2$ gevolgd wordt. Het staat je vrij dat logischer te vinden, maar het zorgt wel voor het enigszins verwarrende verschil tussen $0-8^2=-64$ terwijl dan $-8^2=64$ zou zijn in dergelijke programma's en talen.

Het hangt in elk geval nauw samen met de conventies over volgorde van bewerkingen en die zijn doorheen de tijd inderdaad soms veranderd (zij het niet altijd overal, soms lokaal). De Nederlandstalige wikipedia-pagina hierover geeft wat achtergrondinformatie over oudere conventies.

mvg,
Tom

td
12-1-2018


Formule van een tabel maken

De tabel is:
nummer figuur 1, 2, 3, 4, 5, 6
aantal lucifers 5, 9, 13, 17, 21, 25

Met welke formule kun je het aantal lucifers berekenen?
Nummer = n Aantal lucifers = a
a=....

Ik denk a=n+4 maar als ik dat letterlijk gebruik (1+4=5, 2+4=6) dan klopt het niet.

Stefan
13-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Stefan,

Als je goed naar de getallen kijkt, dan zie je dat het nummer steeds met stappen van 1 omhoog gaat, en het aantal lucifers met stappen van 4. Omdat het aantal lucifers 4 keer zo snel toeneemt als het nummer, krijg je in ieder geval zoiets:

a = 4n + ....

Op de stippen moet nog een getal komen te staan. Dit kunnen we vinden door n van de gegeven nummers voor n in te vullen, en dan de som kloppend te maken. Bijvoorbeeld:

Kies n=2. Volgend de tabel hoort daarbij: a=9. Dus:

9 = 42 + ....

Dit klopt als we op de stippen 1 invullen. De formule wordt dan:

a = 4n + 1

Voor de zekerheid even controleren met andere waarden uit je tabel, maar je zult zien dat dit klopt.

GHvD
13-1-2018


Re: Re: Kwadrateren van negatieve getallen

Bedankt voor je antwoord maar ik doelde eigenlijk op de derde rol van het min teken als onderdeel van een negatief getal.

Bij een variabele zoals a zijn er inderdaad alleen de context van binaire bewerking en unaire bewerking en is er geen twijfel -a2=-(a2), je uitleg is daarvoor duidelijk.

Echter bij een bewerking op een getal zoals -8 snap ik niet dat dit als unaire min bewerking op 8 en dus -(8) moet worden gelezen i.p.v. het getal '-8'. De uitleg omdat 0 − 82=-64 helpt me niet voor want 0 + -82 = ...

Maar nu ik begrijp dat het een afspraak is geschreven-negatieve getalen bij machtsverheffen als positief getal met een unaire min bewerking te lezen voordat de tekenvolgorde wordt toegepast zodat -82 = -(8)2 = -(82) = -64.

Bedankt.

Jaco
15-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Jaco,

Je kan inderdaad een onderscheid maken tussen de unaire bewerking '-a' en een toestandsteken van een getal dat je in het negatieve geval ook met een '-' noteert. Het wordt natuurlijk verwarrend als je dan hetzelfde symbool gebruikt en in het ene geval de volgorde van bewerkingen wil volgen, terwijl je in het andere geval wil dat het teken 'bij het getal hoort'. Het zou in dat geval beter zijn om voor het toestandsteken een ander symbool te gebruiken, iets dat je heel af en toe ook wel ziet opduiken.

mvg,
Tom

td
16-1-2018


Re: Rente percentage per jaar omrekenen naar percentage kwartaal

Ik kan kiezen voor een spaarrekening van 0,5% per jaar of elk kwartaal 0,45%. Wat is voordeliger?

Ton vd
18-1-2018

Antwoord

Printen
Met 0,5% per jaar krijg je maar een keer rente en met 0.45% procent per kwartaal dus 4 keer per jaar .......... dan is het laatste dus veel beter. Maar zo zal het wel niet bedoeld zijn.

jadex
18-1-2018


Re: Re: Rente percentage per jaar omrekenen naar percentage kwartaal

Die 0,45% wordt natuurlijk niet elk kwartaal uitbetaald, maar 1/4 hiervan.

Ton vd
18-1-2018

Antwoord

Printen
Ook dat snijdt weinig hout want dan zou je gewoon op 0,45% totaal uitkomen. Ik mis de exacte formulering om tot een goed antwoord te komen.

jadex
19-1-2018


Rekenen met wortels

Is √y gedeeld door y, hetzelfde als 1 gedeeld door √y?

paul
20-1-2018

Antwoord

Printen
Ja zeker!

$
\eqalign{\frac{{\sqrt y }}
{y} = \frac{{\frac{{\sqrt y }}
{{\sqrt y }}}}
{{\frac{y}
{{\sqrt y }}}} = \frac{1}
{{\sqrt y }}}
$

Bedenk daarbij:

$
\eqalign{\frac{y}
{{\sqrt y }} = \frac{{\sqrt y \cdot \sqrt y }}
{{\sqrt y }} = \sqrt y}
$

Helpt dat?

WvR
20-1-2018


Rekenen zonder rekenmachine

Bereken zonder rekenmachine.

a.
$13−-12$

b.
$\eqalign{-1\frac{5}{6}--2\frac{1}{3}}$ is toch $\eqalign{1\frac{1}{27}}$? Hoe is de regel om negatieve breuk met hele min hele met min te aftrekken?

c.
$\eqalign{-\frac{3}{4}-1\frac{1}{8}}$

romeo
30-1-2018

Antwoord

Printen
a.
$13--12=13+12=25$

b.
$\eqalign{
- 1\frac{5}
{6} - - 2\frac{1}
{3} = - 1\frac{5}
{6} + 2\frac{1}
{3} = - \frac{{11}}
{6} + \frac{7}
{3} = - \frac{{11}}
{6} + \frac{{14}}
{6} = \frac{3}
{6} = \frac{1}
{2}
}$

c.
$\eqalign{
- \frac{3}
{4} - 1\frac{1}
{8} = - \frac{3}
{4} - \frac{9}
{8} = - \frac{6}
{8} - \frac{9}
{8} = - \frac{{15}}
{8} = - 1\frac{7}
{8}
}$

Let op de juiste aanpak en volgorde. Kijk maar 's goed!

WvR
30-1-2018


Nuttig verbruik

Hallo allemaal wie kan mij helpen met dit vraagstuk
Alvast bedankt

Tijdens je slaap verbruik je 4,5 kJ energie p/min. Hoeveel liter melk (ca. 1 kg) heb je nodig voor 8u slapen, als bij verbranding van 1 g melk 2,5 kJ nuttige energie wordt omgezet? Er moet ongeveer 0,861 liter uitkomen

trafas
4-2-2018

Antwoord

Printen
Hallo Trafasi,

Eerst bereken je hoeveel energie je nodig hebt:

1 minuut: 4,5 kJ nodig
1 uur: 60 keer zoveel
8 uur: nog eens 8 keer zoveel.

Na deze berekening weet je hoeveel kJ energie je nodig hebt. Per gram melk krijg je 2,5 kJ. Deel de benodigde hoeveelheid energie door 2,5, dan weet je hoeveel gram melk je nodig hebt, dus ook het aantal kilogram.

De laatste stap: van kilogram naar liter. Wanneer 1 kilogram ook precies 1 liter is, dan weer je ook al het aantal liter dat je nodig hebt. Ik kom dan uit op 0,864 liter. Het kan ook zijn dat je rekening moet houden dat melk iets zwaarder is dan 1 kilogram per liter. Je moet het gevonden aantal kilogrammen dan nog delen door de dichtheid (soortelijke massa van melk, aantal kilogram per liter) om het aantal benodigde liters te vinden.

GHvD
4-2-2018


Rekenen met negatieve getallen

12−4(3−5-2)=12−4(3−-10)=12−413=-40

Ik begrijp de tussenstappen niet hoe kan dat -40 de uitkomst wordt hoe doen ze dat?

romeo
7-2-2018

Antwoord

Printen
Met de juiste volgorde krijg je:
  • eerst de haakjes
  • dan vermenigvuldigen en delen
  • dan optellen en aftrekken
Uitgewerkt:

$
\eqalign{
& 12 - 4 \times (3 - 5 \times - 2) = \cr
& 12 - 4 \times (3 - - 10) = \cr
& 12 - 4 \times (3 + 10) = \cr
& 12 - 4 \times 13 = \cr
& 12 - 52 = \cr
& - 40 \cr}
$

Helpt dat?

WvR
7-2-2018


Machten met gebroken en negatieve exponenten

Beste

Ik heb een probleem met 2 opgaves waarvan een breuk exponent met negatieve breuk macht en decimale macht.

Opgave
320,2
De oplossing is 2

Ik ben momenteel geen student maar zou wel graag een ingangsexamen willen doen voor wetenschappelijke studie en heb 3 cursussen van unief daarvoor aangekocht wiskunde, fysica en chemie en in het middelbaar heb ik geen wetenschappelijke richting gedaan.

Alvast bedankt voor uw hulp.

Evelin
15-2-2018

Antwoord

Printen
Beste Eveline,

Voor deze opgave zou ik opmerken dat $\eqalign{0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}}$. Verder weet je misschien dat $\eqalign{x^{1/n}}$ hetzelfde is als de n-de machtswortel uit x, dus:
$$32^{0{,}2} = 32^{\tfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}$$Je moet je dus afvragen welk getal tot de vijfde macht gelijk is aan 32 en voor kleine machten van twee ken je die best uit je hoofd, of zou je daar met pen en papier snel achter moeten kunnen komen. Er geldt 2^5 = 32, het is dus gewoon 2.

Voor negatieve exponenten heb je de rekenregel: $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}$ en dat geeft hier:
$$\left(\frac{27}{125}\right)^{-\tfrac{2}{3}}=\left(\frac{125}{27}\right)^{\tfrac{2}{3}}=\left(\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}}\right)^{2}$$en om te vereenvoudigen is het nuttig om op te merken dat 27 = 33 en 125 = 53. Kan je zo verder?

Zie ook: Rekenregels voor machten.

mvg,
Tom

td
15-2-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb