|
|
|
\require{AMSmath}
Lineaire algebra
Kwadratische vorm
Gegeven is de volgende kwadratische vorm:
$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3$.
(a) Is deze kwadratische vorm positief (semi-)definiet, negatief (semi-)definiet of indefiniet? Leg kort uit.
(b) Zoek alle vectoren w⃗ waarvoor q(w⃗) = 0. Leg uit waarom je ze allemaal hebt gevonden.
kan iemand me helpen met dze vraag op te lossen? ik weet niet waar te beginnen
patron
14-1-2024
Antwoord
Het gaat om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$a) door de losse $x_2$ kun je $q(0,1,0,0)=1$ en $q(0,-1,0,0)=-1$ krijgen; de vorm is dus indefiniet (lees de definitie, en probeer eens wat punten in te vullen).
b) Je kunt kwadraat afsplitsen:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3 = x_1^2+x_4^2+(x_3+x_2)^2-(x_2-\tfrac12)^2+\frac14
$$Dat geeft $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$, een soort van tweebladige hyperboloïde in de vierdimensionale ruimte.
Of heb je een tikfout gemaakt en gaat het om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$Daar staat $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+(x_2+x_3)^2+x_4^2$. Dat is een som van kwadraten en als je je definities goed leest kom je er zelf wel uit.
kphart
14-1-2024
Deelruimtes en vectorruimtes
In de volgende vraag moet je laten zien dat de inclusies gelden, ik kom alleen niet uit hoe ik laat zien dat de eerste R in l^2 zit?
Lana
18-1-2024
Antwoord
Zie ook deze vraag voor een nauwkeurigere beschrijving van $\mathbb{R}_0^\infty$.
Als $x\in\mathbb{R}_0^\infty$ zit is er een $N$ met $x_n=0$ voor $n\ge N$. Dan volgt ook dat voor $n\ge N$ geldt dat $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_N^2$.
Dus $\lim_{n\to\infty}x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ is gelijk aan ... ?
kphart
18-1-2024
Vectorruimte
Wat is het verschil tussen "De vectorruimte van alle veeltermen
van graad 2 of minder is een vectorruimte" en "De verzameling tweedegraads polynomen is geen vectorruimte", ik heb het bewijs een paar keer bekeken maar ik begrijp niet waarom de een wel een vectorruimte is en de ander niet.
Louis
22-1-2024
Antwoord
De som van twee tweedegraadspolynomen is niet noodzakelijk weer tweedegraads: bijvoorbeeld $(x^2+2x+1)+(-x^2+3x+2)=5x+3$ is eerstegraads.
De verzameling $T$ van tweedegraadspolynomen voldoet dus niet aan de eis "als $p,q\in T$ dan $p+q\in T$", en is daarmee geen deel(vector)ruimte.
Ook zie het nulpolynoom niet in $T$ en het nul polynoom zit in elke deel(vector)ruimte.
Kortom: $T$ voldoet niet aan alle eisen.
De verzameling $P_2$ van alle polynomen van graad $2$ of minder voldoet wel aan de deelruimte-eisen; dat staat ongetwijfeld netjes uitgelegd in die bewijzen die je bekeken hebt.
kphart
22-1-2024
Waar of vals vectorvelden variëteit
Beste
Ik zit vast aan de volgende waar of vals vraag: Zij M een gladde variëteit, f een gladde functie op M, en X een vectorveld op M zodat X(f) niet nul is voor elke punt van M. Indien M compact is kan er zo een f en X bestaan?
Zou u mij op de juiste weg willen zetten. Alvast bedankt!
Rafik
25-1-2024
Antwoord
Zoals deze nu gesteld is is de vraag niet te beantwoorden. Zo te zien is $X$ een functie van $M$ naar een macht van $\mathbb{R}$, waarschijnlijk $\mathbb{R}^n$ met $n$ de dimensi van $M$; of is het een functie die bij elke $x\in M$ een vector uit de bijbehorende raakruimte neemt?
Verder wordt over $f$ niets gezegd, is $f$ een functie van $M$ naar $\mathbb{R}$ misschien?
Hoe dan ook de uitdrukking $X(f)$ suggereert dat $f$ in $X$ wordt ingevuld, maar $X$ heeft als domein $M$, niet een verzameling functies.
Wat was de juiste formulering van de vraag?
kphart
30-1-2024
Vectoren
Geachte,
Kunt u mij helpen a.u.b.?
De opgave is: Gegeven driehoek ABC met A(5,1) , B(14,8) en C(8,10)
Bereken de richtingsvectoren van de lijnen m die de zwaartelijn n vanuit A onder een hoek van 60° snijden.
De richtingsvector van de zwaartelijn is "6 boven 8", verkleind naar "3 boven 4". Als ik nu de richtingsvectoren van m stel als "p boven 1" krijg ik p = -8,30 of p= -0,43. (via formule cos( $\alpha $ = inprodukt: produkt lengte vectoren = 0,5. Maar als ik die richtingsvectoren van m stel als "1 boven p" dan krijg ik een andere p. Kan dat zo maar? Waar zit mijn denkfout?
Alvast bedankt voor uw hulp. Katrijn
En hoe lopen die richtingsvectoren
Katrij
21-2-2024
Antwoord
Hallo Katrijn,
Ja, het klopt dat je dan een andere waarde voor p krijgt. Immers, een richtingsvector "2 boven 1" heeft een heel andere richting dan "1 boven 2". De eerste vector "2 boven 1" heeft wel dezelfde richting als "1 boven 1/2": je vindt dit door de eerste vector door 2 te delen.
Zo ook de door jou gevonden richtingsvector "-8,30 boven 1". Delen door -8,30 levert "1 boven -1/8,30" ofwel "1 boven -0,12". Als het goed is, vind je bij jouw tweede aanpak dus p=-0,12 (en p=1/-0,43=-2,34).
Klopt dat?
GHvD
21-2-2024
Matrices
Hallo
0 1 a
Matrix A = 0 0 -a
0 0 1 Welk getal staat op de 2e rij, derde kolom van de matrix A25?
A) -a
B) a
C) a24
D) -a25
Kan iemand uitleggen waarom bij deze oefening het correcte antwoord A is en niet D?
Alvast heel erg bedankt!
Lara
31-3-2024
Antwoord
Bereken A2 en A3. Wat valt je op? Wat zou er gebeuren als je hier mee doorgaat?
Lukt het dan?
WvR
1-4-2024
Punten op een rechte in R³
Hallo
Hoe kan je controleren of 3 punten (in R³, bv. (3,0,2), (0,4,0) en (6,-2,5)) op één rechte liggen?
Met vriendelijke groeten
Lara
31-3-2024
Antwoord
Stel een vectorvoorstelling op voor de rechte door de eerste twee punten en controleer of het derde punt hieraan voldoet. Zou dat lukken?
Laat anders even zien waar het misloopt?
WvR
31-3-2024
Vergelijkingssysteem met 3 variabelen oplossen
Ik heb een vraag over de volgende oefening:
4x+5y=32-6z
2x-3y+5z=11
y+4x-6z=-12
Ik kom telkens uit op y=-2,55 x=4,4 z=4,51 maar dit is fout.
Alvast bedankt voor de hulp!
Y
19-4-2024
Antwoord
We kunnen 's een poging doen!
4x+5y=32-6z
2x-3y+5z=11
y+4x-6z=-12
Neem (1)-2·(2). Je krijgt dan:
4x+5y=32-6z
4x-6y+10z=22
11y-10z=10-6z
11y-4z=10 (4)
Neem (1)-(3). Je krijgt
4x+5y=32-6z
y+4x-6z=-12
4y+6z=44-6z
4y+12z=44
y+3z=11 (5)
Neem (4)-11(5). Je krijgt:
11y-4z=10
11y+33z=121
-37z=-111
z=3
...en dan kom je er wel...
Helpt dat?
Maar er zijn natuurlijk meer wegen die naar Rome leiden:Dat kan natuurlijk ook!
WvR
19-4-2024
Re: Re: Inwendige produkten
hoi, ik zoek voor deze bilineariteit enige onderbouwing, grafisch het liefst is er iemand die mij wellicht een link kan sturen van bijvoorbeel een youtube film? De bewijzen die ik kan vinden zijn allemaal erg abstract als u begrijpt wat ik bedoel..
Gijs
8-8-2024
Antwoord
Probeer de video's van het Prime project van de TU Delft eens.
kphart
11-8-2024
Loodrechte projectie versus spiegeling
Hoi,
Wat is het verschil tussen een loodrechte projectie en een spiegeling?
In de vraag:
"Stel voor $\mathbf{R}$ 2 de matrix M op die hoort bij:
- spiegeling in de lijn y = x
- loodrechte projectie op de lijn y = x"
zouden zowel ik als mijn docent wiskunde hetzelfde antwoord verwachten. Echter is dit niet het geval in de uitwerkingen.
Adolf
4-9-2024
Antwoord
Hallo Adolf,
Bij een spiegeling in een lijn komt het beeldpunt aan de andere kant van de lijn te liggen, bij een projectie op een lijn komt het beeldpunt op die lijn te liggen.
Teken bijvoorbeeld een assenkruis met de eenheidsvector langs de x-as. Bij spiegeling in y=x krijg je de eenheidsvector lans de y-as. De projectie van deze eenheidsvector wordt een vector met coördinaten (1/2,1/2), dus met lengte 1/2 $\sqrt{}$ 2 op de lijn y=x.
GHvD
4-9-2024
Diagonaliseren matrices
Hoi,
Ik moet in de vraag Mn berekenen van de matrix:
12 -15
10 -13
Ik krijg als antwoord:
-2·(-3)n+2·2n 3·(-3)n-2·2n
-2·(-3)n+3·2n 3·(-3)n-3·2n
In de uitwerkingen staat echter:
3·2n-3·(-3)n -3·2n+3·(-3)n
2·2n-2·(-3)n -2·2n+3·(-3)n
Wat er bij mij anders is, is dat bij Mn = P · Dn · P-1 ik de kolommen heb omgedraaid van de P en D (t.o.v. de uitwerkingen).
Dit is dan weer afhankelijk van de volgorde van mijn eigenwaarden uit een kwadratische vergelijking. Mij is dan niet helemaal duidelijk wat er niet goed gaat, aangezien ik toch niet uit de vraag kan aflezen wat $\lambda $ 1 en wat $\lambda $ 2 is?
Alvast bedankt voor de reactie.
Dirk
2-10-2024
Antwoord
Het maakt voor deze vraag niet uit welke eigenwaarde je $\lambda_1$ noemt en welke $\lambda_2$.
De eigenwaarden zijn $-3$ met eigenvector $\binom{1}{1}$, en $2$ met eigenvector $\binom{3}{2}$.
In jouw antwoord staat een fout: het lijkt of je $\binom{2}{3}$ als eigenvector in eigenwaarde $2$ hebt genomen.
In het overgeschreven antwoord staat ook een fout: in de eerste kolom moet bij $(-3)^n$ twee keer $-2$ staan.
Of je nou
$$P=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}
\text{ en }
D=\begin{pmatrix} 2&0\\0&-3\end{pmatrix}
$$neemt, of
$$P=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}
\text{ en }
D=\begin{pmatrix} -3&0\\0&2\end{pmatrix}
$$het antwoord is
$$\begin{pmatrix}
-2\cdot(-3)^n+3\cdot 2^n & 3\cdot(-3)^n-3\cdot 2^n\\
-2\cdot(-3)^n+2\cdot 2^n & 3\cdot(-3)^n-2\cdot 2^n
\end{pmatrix}
$$
kphart
2-10-2024
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
