WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lineaire algebra

Ellips

Op een ellips E met brandpunten F,F' en met middelpunt O neemt men een punt D. Bewijs dat de volgende rechten concurrent zijn: de raaklijn t in D aan E, de loodlijn uit F op t, de evenwijdige door O met DF'. Als je dan de drie vglk zoekt moet de det dan 0 zijn en zoja waarom?

PVN
7-1-2025

Antwoord

Hallo,

De drie vergelijkingen van deze rechten kun je inderdaad schrijven in een stelsel van 3 vergelijkingen met (slechts) 2 onbekenden. In de meeste gevallen heeft zo'n stelsel geen oplossing. De voorwaarde dat het stelsel een oplossing heeft (d.w.z. de rechten hebben één gemeenschappelijk punt) is dat de determinant van de verkregen matrix gelijk is aan 0.
Men noemt dit algemeen het elimineren van n onbekenden uit n+1 (eerstegraads)vergelijkingen.

Ok?

LL
7-1-2025

Re: Ellips

Maar als de det=0 is het toch ofwel vals ofwel onbepaald,...
pvn
7-1-2025

Antwoord

Ik weet niet hoe ver jij op de hoogte bent van het bespreken van stelsels en de begrippen rang van een matrix en van de uitgebreide matrix van stelsels.
Ik zal het proberen uit te leggen zonder deze begrippen.

We gaan ervan uit de vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn, dit wil zeggen dat de vergelijkingen geen veelvouden zijn en een vergelijking niet kan geschreven worden als een lineaire combinatie van andere vergelijkingen.
In jouw toepassing is dat zeker het geval.

Als we dan evenveel onbekenden als vergelijkingen hebben is er altijd precies één oplossing (1).
Als er één vergelijking meer is, is er algemeen geen oplossing meer want de kans is klein de gevonden oplossing in (1), ook past in de bijkomende vergelijking.
Er is dan enkel een oplossing als deze bijkomende oplossing een lineaire combinatie is van de andere vergelijkingen, en dan moet de determinant gelijk zijn aan 0.
Men noemt dit algemeen het elimineren van n onbekenden uit n+1 (eerstegraads)vergelijkingen.

LL
7-1-2025

Bewijs associativiteit groepentheorie

Ik wil bewijzen dat de viergroep van Klein een groep is. Voorbeeld {1,a,b,c}
Moet ik dit bij de voorwaarde associativiteit voor alle mogelijke combinaties doen? Of is 1 voorbeeld voldoende?
Moet ik dus als volgt
1*(a*b)=1*c=c net als (1*a)*b=a*b=c
EN 1*(1*1)=1*1=1 net als (1*1)*1=1
EN bewijzen dat (a*a)*a=a*(a*a)
EN a*(b*c)=(a*b)*c
Enz....?
Dat lijkt me toch enorm veel schrijfwerk. Hoe wordt dat normaal gedaan? Er zijn toch wel heel veel combinaties.... Je kan ook niet gewoon verwijzen naar de Cayley-tabel...

Tom
9-2-2025

Antwoord

Ja, als je niets anders hebt dan de groepstabel zul je alle drietallen langs moeten lopen.

Als alternatief kun je proberen die groep als symmetriegroep van een figuur te zien (een rechthoek die geen vierkant is); of als ondergroep van een andere groep, bijvoorbeeld $\bigl\{(1), (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\bigr\}$ als deel van $S_4$.
kphart
9-2-2025