De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Lineaire algebra

Basisvector voor bewijs lineaire functie

Beste

We willen bewijzen hoe een lineaire functie van R2$\to$ R3 volledig bepaald wordt door een (32)-matrix volgens f(x)=Ax. in mijn boek gaat het bewijs als volgt:

We bekijken de waarden van f op de standaardbasis van R2. definieer:
(a1,1) = f (1) en(a1,2)=f(0)
a2,1 0 a2,2
a3,1 a3,2
Nu als we f kennen op de basisvectoren, dan kennen we f in elk punt.
Enzoverder...

Nu zit ik bij het begin van dit bewijs al vast. Vanwaar komen de waarden op de standaardbasis van R2 en hoezo kennen we f in elk punt als we f kennen op de basisvectoren?

mvg
Lisa

Lisa
4-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Lisa,

De lineaire afbeelding $f$ gaat van $\mathbb{R}^2$ naar $\mathbb{R}^3$ dus het beeld van een vector uit $\mathbb{R}^2$ is een vector uit $\mathbb{R}^3$. Hoe het beeld van bijvoorbeeld de basisvector $(1,0)$ eruit ziet kunnen we niet weten als we $f$ niet kennen, maar het is in het algemeen een vector van de vorm $(x,y,z)$. Ze geven die cordinaten gewoon andere namen ($a_{1,1}$, ...); waarschijnlijk om het onderscheid met het beeld van de andere basisvector duidelijk te maken n om de brug al te leggen naar de matrix die ze met deze cordinaten gaan vullen.

Het feit dat de beelden van de basisvectoren ook alle andere beelden bepalen, volgt uit de lineariteit van $f$. Omdat je elke vector $(x,y)$ kan schrijven als $x(1,0)+y(0,1)$ volgt ook elk beeld, want:
$$f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)
=f\left(x\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\right)
=x\cdot f\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+y\cdot f\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$$mvg,

Tom

td
5-1-2018


Niet-colineaire vectoren

Als a en b niet-colineaire vectoren zijn en indien A = (x + 4y)a + (2x + y + 1)b en B = (y - 2x + 2)a + (2x -3y - 1)b, bepaal dan x en y zodanig dat 3A = 2B

an
5-1-2018

Antwoord

Printen
Je kunt schrijven: A=p(x,y)a+q(x,y)b en B=r(x,y)a+s(x,y)b met
p(x,y)=x+4y
q(x,y)=2x+y+1
r(x,y)=y-2x+2
s(x,y)=2x-3y-1

Nu moet gelden:
3p(x,y)=2r(x,y) en
3q(x,y)=2s(x,y)

Dus:
3(x+4y)=2(y-2x+2) en
3(2x+y+1)=2(2x-3y-1)

Los nu dit stelsel op om x en y te vinden.

hk
5-1-2018


Drie non-coplanaire vectoren

Beste

Ik kom niet uit op hetzelde antwoord, kunt u mij hiermee helpen? Stel dat a, b, c drie non-coplanaire vectoren zijn, zijn dan de vectoren r1 = 2a - 3b + c, r2 = 3a - 5b + 2c, en r3 = 4a - 5b + c lineair onafhankelijk of afhankelijk?

Antw.: Lineair afhankelijk want r3 = 5r1 -2r2.

Hartelijke groeten

an
5-1-2018

Antwoord

Printen
Je schrijft niet wat jij vindt.
Maar als ik r1 en r2 invul in 5r1-2r2 dan vind ik inderdaad r3:
5r1-2r2=5(2a - 3b + c)-2(3a - 5b + 2c)=
10a-15b+5c-6a+10b-4c=4a-5b+c=r3.
Daaruit volgt dus dat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn.

De kunst zal wel zijn de relatie r3=5r1-2r2 te vinden.
Veronderstel nu eens even dat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn dan bestaan er getallen x en y zo dat
r3=xr1+yr2
Vul nu in wat je weet:
voor a: 4=x2+y3
voor b: -5=x-3+y-5
voor c: 1=x1+y2

Oplossen van het stelsel:
4=x2+y3
-5=x-3+y-5
levert:
x=5 en y=-2
Invullen in:1=x1+y2 levert 1=51+(-2)2 en dat klopt.
Hiermee heb je dus x en y gevonden en dus weet je nu dat r3=5r1-2r2

hk
5-1-2018


Rang

Is bij een niet oplosbaar stelsel AX=B rang(A) kleiner of groter dan de rang(A|B)? Hoe toon je dit aan?

dd
12-1-2018

Antwoord

Printen
Kleiner: dat volgt bijna uit de definities: de rang is zeker niet groter want $(A|B)$ kan alleen maar meer onafhenkelijke vectoren hebben.
Als de rangen gelijk waren dan was elke kolom van $B$ een lineaire combinatie van kolommen van $A$ en dat betekent dat het stelsel wel oplosbaar zou zijn.

kphart
12-1-2018


Re: Rang

Bedankt, maar wat bedoelt u net met (A|B) kan alleen maar meer onafhankelijke vectoren hebben?

Bij een niet oplosbaar stelsel heb je zoiets als een rij van de vorm (0000|1) dit wil zeggen dat het aantal niet nul-rijen in A' kleiner is dan het aantal niet-nul rijen in (a|b)'. is dit dezelfde redenering?

dd
13-1-2018

Antwoord

Printen
Mijn definitie van rang is 'maximum aantal lineair onafhankelijke kolommen'; als de rang van $A$ bijvoorbeeld gelijk is aan $10$ dan zijn er tien kolommen in $A$ die lineair onafhankelijk zijn en je krijgt in $A$ nooit meer dan tien lineair onafhankelijke kolommen. De extra kolommen in $B$ kunnen voor extra onafhankelijke zorgen.
De niet-oplosbaarheid van het stelsel zorgt dat ten minste n kolom van $B$ geen lineaire combinatie van de kolommen van $A$ is, samen met die tien uit $A$ geeft dat elf lineair onafhankelijke kolommen.
Je kunt inderdaad de niet-oplosbaarheid ook zien aan een rij als je beschrijft, maar je moet dat wel aan de definitie van rang koppelen.
Welke definitie van rang heb jij geleerd?

kphart
13-1-2018


Re: Re: Rang

Wij gebruiken als definitie voor rang het aantal niet-nul rijen in een matrix. Hoe bewijs je dit dan?

dd
13-1-2018

Antwoord

Printen
Ik neem aan "aantal niet-nulrijen na eliminatie"; in dat geval had je zelf het antwoord kunnen geven: $(A|B)$ heeft na eliminatie ten minste n niet-nulrij meer.

Het bewijs van het equivalent zijn van beide definities kost wat werk; dat zou je in je boek moeten kunnen vinden.

In het kort: bekijk de kolommen in de oorspronkelijke matrix die horen bij de pivotposities.

kphart
13-1-2018


Matrices

Als je weet dat A inverteerbaar is en dat AB=CA, mag je dan besluiten dat B=C?

e
16-1-2018

Antwoord

Printen
Beste E,

Nee, dat kan je niet besluiten.

Het lukt wel als je weet dat $AB = AC$ en het volstaat in dat geval om beide leden langs links met $A^{-1}$, de inverse matrix van $A$, te vermenigvuldigen. Als je hetzelfde doet voor $AB=CA$, dan vind je:
$$A^{-1}AB=A^{-1}CA \Rightarrow B = A^{-1}CA$$Men zegt ook wel dat de matrices $B$ en $C$ in dat geval gelijksoortig zijn, maar dus niet noodzakelijk gelijk.

mvg,
Tom

td
16-1-2018


Lineaire afhankelijkheid

Als
2a+b-2c = 3
-a+3b+c = 2
a-2b-3c = 5
wat zijn hierbij de antwoorden op a,b,c. a,b,c moeten voor ieder van deze 3 gelijk zijn, ze zijn lineair afhankelijk? Kunt u mij hiermee verder helpen ik kom er niet uit, volgens de antwoord is dat bij a=-2 en bij b=1 en c=-3, maar hoe weet ik dit zonder deze antwoord te kennen? Alvast hartelijke dank

ann
27-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Ann,

We noemen dit een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden. Je kunt zo'n stelsel oplossen door middel van eliminatie: in n van de vergelijkingen isoleer je n van de variabelen, het resultaat vul je in de overige vergelijkingen in.

2a+b-2c = 3 (1)
-a+3b+c = 2 (2)
a-2b-3c = 5 (3)

Uit (3) volgt:
a = 2b+3c+5 (4)

Dit vullen we in (1) en (2) in:
2(2b+3c+5)+b-2c = 3 en:
-(2b+3c+5)+3b+c = 2

Haakjes wegwerken levert (ga voor jezelf na dat dit klopt):
5b+4c = -7 (5) en:
b-2c = 7 (6)

We hebben nu twee vergelijkingen met twee onbekenden. In vergelijking (6) kunnen we gemakkelijk b isoleren:

b = 2c+7 (7)

Invullen in (5):
5(2c+7)+4c = -7
14c = -42
c=-3

Dit vullen we in (7) in:
b = 2×-3+7
b = 1

Nu we c en b weten, kunnen we dit weer in (4) invullen:
a = 2×1+3×-3+5
a = -2

Conclusie: a=-2, b=1, c=-3.

OK zo?
Zie Stelsels oplossen

GHvD
27-1-2018


Oplossen van een stelsel

Beste :),

Ik kan dit stelsel niet oplossen kan je helpen?

3(x+4y)=2(y-2x+2) en
3(2x+y+1)=2(2x-3y-1)

Los nu dit stelsel op om x en y te vinden. hartelijke groet

ann
27-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Ann,

Eerst haakjes wegwerken en vereenvoudigen. Dit levert:
7x+10y= 4 (1)
2x+ 9y=-5 (2)

Je kunt dit stelsel op dezelfde manier oplossen als bij jouw vorige vraag, je zit dan wel met 'vervelende' breuken. Isoleren van x in (2) levert bijvoorbeeld op:
x = -9/2y-5/2

Op zich kan dit best, maar er is nog een methode:
Vermenigvuldig beide vergelijkingen met een getal, zodanig dat de factor voor n van de variabelen (x of y) gelijk wordt, of tegengesteld.

In dit geval: vermenigvuldig (1) met 2 en (2) met 7. We krijgen:
14x+20y= 8 (3)
14x+63y=-35 (4)

Trek dan de vergelijkingen van elkaar af. 14x-14x=0, dus we houden over:
-43y=43
dus:
y=-1

Invullen in (1) (of in (2), maakt niet uit) levert:
7x+10-1=4
7x=14
x=2

OK zo?

GHvD
27-1-2018


Vector

Ik kom helaas niet op de antwoord voor deze vraag, kun je mij helpen? Stel dat a, b, c drie non-coplanaire vectoren zijn. Beschouw de vectoren r1 = 2a - 3b + c, r2 = 3a - 5b + 2c, en r3 = 4a - 5b + c. Men kan r3 uitdrukken als een som van r1 en r2.
  • Wat is dan de cofficnt van r2?

ester
28-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Ester,

Wanneer r3 uitgedrukt kan worden in een som van r1 en r2, dan moet kennelijk gelden:

pr1 + qr2 = r3

ofwel:

p(2a-3b+c) + q(3a-5b+2c) = 4a-5b+c

Haakjes wegwerken en sorteren:

(2p+3q)a + (-3p-5q)b + (p+2q)c = 4a -5b +c

Dan is:
2p+3q= 4
-3p-5q=-5
p+2q= 1

Je hebt nu een stelsel van 3 vergelijkingen met 2 onbekenden. Met 2 vergelijkingen kan je op de bekende wijze p en q berekenen (zie Lineaire afhankelijkheid of Oplossen van een stelsel).

Voor de derde vergelijking zijn dan twee mogelijkheden: deze klopt wel, of deze klopt niet wanneer je de gevonden waarden van p en q invult. Wanneer deze vergelijking niet zou kloppen, dan is r3 niet te schrijven als een som van r1 en r2, in dat geval zou de opgave onjuist zijn. Gelukkig klopt de derde vergelijking wel, de gevonden waarde van q is de gevraagde cofficint.

GHvD
28-1-2018


Re: Vector

Hallo Gilbert,
Hoe kom jij trouwens op de sommen 4a-5b+c? Ik doe het namelijk door 2p den 3q op te tellen, maar daarbij krijg ik geen 4...

ester
28-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Ester,

Jouw vraag is mij niet duidelijk. Bij stap 1 stel ik:
pr1 + qr2 = r3

Invullen van de gegeven r1, r2 en r3 levert:
p(2a-3b+c) + q(3a-5b+2c) = 4a-5b+c

Hier komt 4a-5b+c tevoorschijn: dit is immers r3.
Vervolgens links haakjes wegwerken, rechts laat ik gewoon staan:
2pa -3pb +pc +3qa -5qb +2qc = 4a-5b+c

Links sorteren op a, b en c, rechts nog even laten staan zoals het staat:
2pa +3qa -3pb -5qb +pc +2qc = 4a-5b+c

Nu links a, b en c buiten haakjes halen:
(2p+3q)a + (-3p-5q)b + (p+2q)c = 4a-5b+c

Zowel het aantal a-tjes, b-tjes als c-tjes moet links en rechts gelijk zijn, dus:

2p+3q= 4
-3p-5q=-5
p+2q= 1

Is je probleem hiermee opgelost? Zo niet: laat dan wat nauwkeuriger weten bij welke stap je de draad kwijtraakt.

GHvD
28-1-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb