De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Krommen

Re: Baan van een squashbal

Hartelijk dank voor uw snelle reactie en uitvoerige uitleg!
Is het probleem daarmee opgelost? Ten dele denk ik.

Oorspronkelijk komt het probleem uit de 2de druk van "Mechanics" van P en R.C. Smith (blz. 112, Exc. 8). Ik bood het aan, met mijn gedeeltelijke oplossing, bij Ask Dr. Math. Helaas is deze site inmiddels gesloten, dus bood ik het aan bij WisFaq. Het werd geweigerd omdat het in het Engels gesteld was.

In de oorspronkelijke formulering speelt de squasher zelf gn enkele rol! Hij slaat de ballen weg met beginsnelheid v z dat ze boven een verticale lijn op de muur terecht komen. In principe kunnen die ballen dus overal op de muur terechtkomen. Bekeken worden echter een hoge en een lage bal waarvan de banen worden geprojecteerd in een verticaal vlak en wel zo dat die banen twee punten gemeen hebben; 1. bij de squasher en 2. op de lijn op de muur.

Onder die voorwaarde kunnen de ballen in ieder punt(!) op de muur terechtkomen; maar wel in een cirkel op de muur(!!) waarvan men moet bewijzen wat de straal is.

Modellering wordt aan de lezer/student overgelaten. Om er zeker van te zijn dat ik het Engels goed begrepen had bood ik het bij Ask Dr.Math aan; voor Wisfaq moest ik het vertalen! Hopelijk is dat enigszins gelukt.

Met vriendelijke groet en nogmaals dank voor uw inspanningen.

M. Wie
2-1-2018

Antwoord

Printen
Voorzover ik de vraag begrijp is dat de oplossing. De bal moet op of boven een lijn komen; je kunt uitrekenen welk deel van de muur dan nog haalbaar is (vanuit n vast punt; en dan moet je laten zien dat een cirkel van een bepaalde straal haalbaar is. In mijn ogen betekent dat dat zo'n cirkel in het haalbare gebied moet passen. Een beetje raar, maar eigenlijk ook wel weer mooi, is dat je die straal kennelijk in de twee hoeken kunt uitdrukken waaronder de bal gelanceerd moet worden om precies hoogte $h$ te halen.
Merk op dat dit ook het randgeval dekt waarin $h$ de maximaal haalbare hoogte is: dan moet $\alpha=\beta$ gelden en in dat geval is alleen het punt aan de top (een cirkel met straal $0$) haalbaar..

kphart
2-1-2018


Re: Berekening aan een paarboolbaan, squashbal

Alles overziende is er toch nog iets mis. Misschien heb ik u op het verkeerde been gezet door in de opgave over d en h te praten. In de oorspronkelijke opgave komt dat niet voor.
h is een gegeven vast getal, vastgelegd in hoe een squash veld er uit moet zien; d is de positie van de squashspeler n die kan uiteraard variren.
d en h heb ik in mijn modellering ingevoerd om het probleem op te kunnen lossen.
d = [2v2cos(alpha)cos(bta)] / [gsin(alpha + bta)]
d lijkt gedeeltelijk op de straal van het cirkelvormige gebied.
Wat er bewezen moest worden is dat de ballen overal op de muur terecht kunnen komen, maar wel in
(1) een cirkelvormig gebied, waarvan de straal
(2) gelijk is aan [v2sin(alpha - bta)] / [gsin(alpha + bta)]

In dit antwoord komen d en h niet voor!! Ik dacht ze nodig te hebben voor mijn oplossing in de hoop dat ze uiteindelijk uit de berekening zouden verdwijnen. Wat helaas niet gelukt is. Het probleem is dus nog steeds open. Verder dan de berekening van d kom ik helaas niet.

M. Wie
5-1-2018

Antwoord

Printen
Lees de eerste zin van de opgave nog maar eens: "It is required to hit a squash ball from a given point with a given speed $v$ so as to $\ldots$". Dat betekent voor mij dat het punt van waaruit geslagen wordt voor de rest van de opgave vast ligt, en ook de snelheid. Het gaat dus om de punten die vanuit dat punt en met die snelheid te raken zijn.
De eerste stap in het modelleren van het probleem is de afstand tot de muur en de gewenste minimale hoogte namen te gaven: $d$ en $h$. Vervolgens wordt door experimenteren(?) gevonden dat bij lancering onder hoeken $\theta_1$ en $\theta_2$ (loodrecht op de muur af) de hoogte $h$ gehaald wordt. Die hoeken, of in ieder geval hun tangensen zijn in $v$, $d$, $h$ en $g$ uit te drukken.

kphart
5-1-2018


Projectie kromme in XY-vlak

Kromme K x2+y2+z2-2x-4y-2z-11=0 en z= x2+y2-5
  • Bepaal de cartesische vergelijking van de projectie in het xy-vlak.
In het xy-vlak is z=0 maar waarom moet je in de eerste vergelijking x2+y2+z2-2x-4y-2z-11=0, z vervangen door x2+y2-5 om tot dit op te lossen?

Arne D
12-1-2018

Antwoord

Printen
Dat in het $xy$-vlak geldt dat $z=0$ heeft niets met het probleem te maken. Het gaat er om de snijkromme te bepalen en hem dan het $xy$-vlak in te projecteren. Dan wil je $z$ elimineren en dat doe je door de tweede vergelijking in de eerste in te vullen. Je krijgt dan iets waar $x$ en $y$ aan moeten voldoen en dat geeft meteen de vergelijking van de projectiekromme in het $xy$-vlak.

kphart
12-1-2018


Maximale baansnelheid

Hallo,

Ik moet de maximale baansnelheid uitrekenen van de volgende parametervoorstelling:

x = -2cos(2t)
y = cos(4t)

Ik zou graag willen weten of ik het juist gedaan heb. Bovendien weet ik niet hoe ik aan het maximum kom

Eerst moet ik ze differentiren, dat wordt:

x' = 4sin(2t)
y' =-4sin(4t)

Dan de afgeleiden kwadrateren onder de wortel (formule baansnelheid)

Maar dan geraak ik niet van de t's af (volgens mij) en ik moet een antwoord geven in de vorm van een cordinaat.

Henry
3-5-2018

Antwoord

Printen
Voor welke waarde(n) van $t$ is de baansnelheid maximaal? Vul die waarde(n) voor $t$ in in:

x = -2cos(2t)
y = cos(4t)

...en je weet de bijbehorende cordinaten.
Helpt dat?

WvR
3-5-2018


Re: Maximale baansnelheid

Hoe kom ik erachter voor welke waarde(n) van t de baansnelheid maximaal is?

Henry
4-5-2018

Antwoord

Printen
Je schreef zelf al 'Dan de afgeleiden kwadrateren onder de wortel (formule baansnelheid)'. Je krijgt dan een uitdrukking in $t$ en dan zoeken naar het maximum van die functie! Ik vermoed dat je dat dan met de GR zult moeten benaderen!

Lukt dat zo?

WvR
4-5-2018


Schets de kromme van deze vergelijking

Dit is een vraag die gegeven werd op een examen maar waar we nooit een gelijkaardige oefening van gekregen hebben. Het lukt me niet om met dit functievoorschrift een kromme te verkrijgen. Het lukt niet om de 'a' weg te werken. Voor meer informatie te hebben zal ik de volledige opgave geven:

Een zware homogene kabel die volkomen buigzaam en onuitrekbaar is wordt in twee punten op afstand d van elkaar en op hoogte h opgehangen De kabel neemt de vorm aan van de kromme bepaald door: f(x)=(a/x)(e^(x/a)+e^-(x/a))=ah(x/a)

1) schets de kromme
2) bepaal de lengte van de kabel tussen de ophangpunten en in functie van a, d en h.
3) bepaal d en h als de kabel een lengte van 75 m heeft en het hoogste punt 60 m boven de grond uitkomt.

Zou iemand me kunnen helpen de juiste oplossing van deze opgave te vinden? Alvast bedankt

jonath
8-8-2018

Antwoord

Printen
Zo gaat het niet: er staat een $=$-teken in de definitie van $f(x)$ en de uitdrukking
$$
\frac ax\cdot(e^{\frac xa}+e^{-\frac xa})
$$heeft bij $x=0$ een verticale asymptoot en kan dus geen hangende kabel voorstellen.

kphart
8-8-2018


Re: Schets de kromme van deze vergelijking

Je hebt gelijk de juiste vergelijking is
f(x)=(a/2)(e^(x/a)+e^-(x/a))=ah(x/a)

Het gaat dus om de algemene vergelijking van een kettinglijn.

jonath
9-8-2018

Antwoord

Printen
En nog steeds staat er iets geks: wat betekent dat tweede $=$-teken?
Bedoel je dat de constante $h$ zo moet zijn dat
$$
\frac a2\left(e^{\frac xa}+e^{-\frac xa}\right)
$$gelijk is aan $a\cdot h\cdot \frac xa$? Oftewel aan $h\cdot x$?

kphart
9-8-2018


Re: Re: Schets de kromme van deze vergelijking

In de opgave staat na het tweede =-teken ah(x/a) maar als je dat uitwerkt is dat toch gewoon gelijk aan hx?

Ik heb geprobeerd om de vergelijking te vereenvoudigen en momenteel heb ik dit:
y=(a/2)(e^(x/a)+e^-(x/a))

y/a=1/2(e^(x/a)+e^-(x/a))

stel: x=x/a en y=y/a
$\to$ y = 1/2(ex+e-x) = ahx

jonath
9-8-2018

Antwoord

Printen
Inderdaad $a\cdot h\cdot \frac xa=h\cdot x$.
Als je $x=x/a$ stelt (en $y=y/a$ dan zeg je ook dat $a=1$ en dat kan niet de bedoeling zijn.

De laatste gelijkheid deugt niet. want de middelste functie is echt niet lineair.

kphart
9-8-2018


Re: Re: Schets de kromme van deze vergelijking

volgens mij wordt er bedoeld na het laatste =teken dat
(x)=(a/2)(e^(x/a)+e^-(x/a))=ah(x/a) waarbij h(x/a) een functievoorschrift is om de hoogte te berekenen
Uiteindelijk kom ik dus uit dat y = (ex+e-x)/2= h(x)

Kan dit kloppen?

jonath
9-8-2018

Antwoord

Printen
Dat lijkt me niet de bedoeling want in de eerste versie van je vraag waren $a$, $d$ en $h$ constanten. Dan kun je $h$ niet zomaar in een functie van $x$ veranderen.

kphart
9-8-2018


Re: Re: Schets de kromme van deze vergelijking

Ik was nog vergeten te vermelden dat d = x

dus kom ik uiteindelijk uit als functievoorschrift in functie van a,d en h dat

y= ah(d) = (ed + e^-d)/2

Nu vraag ik me wel af hoe ik hier de lengte van de kabel mee kan berekenen en of dit wel juist is

jonath
9-8-2018

Antwoord

Printen
En dat kan ook niet: $d$ is een constante en $x$ is een variabele.

De functie die de kettinglijn beschrijft is
$$
f(x)= a \cosh\left(\frac xa\right)
$$het zou kunnen zijn dat die `functie $h$' een slecht gelezen/overgeschreven $\cosh$ is.
De lengte van de kettinglijn bepaal je met behulp van deze integraal
$$
\int_{-d}^d\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x
$$In dit geval heb je $f'(x)=\sinh\frac xa$ en $1+\sinh^2\frac xa=\cosh^2\frac xa$ dus krijg je
$$
\int_{-d}^d \cosh\frac xa\,\mathrm{d}x = \left[a\sinh\frac xa\right]_{-d}^d =2a\sinh\frac da
$$Nu is gegeven dat $f(d)=h$, dus $a\cosh\frac da=h$, ofwel $\cosh\frac da=\frac ha$. Dan volgt
$$
\sinh\frac da=\sqrt{\cosh^2\frac da-1}=\sqrt{\left(\frac ha\right)^2-1}
$$Zo kun je lengte in $a$, $d$ en $h$ uitdrukken.
In het expliciete geval heb je $h=60$ (hoogte), en $2\sqrt{h^2-a^2}=75$ (lengte).
Daarmee kun $a$ bepalen en dan $d$ oplossen uit
$$
a\cosh\left(\frac da\right)=60
$$
Zie Wikipedia: Catenary

kphart
9-8-2018


Re: Re: Re: Schets de kromme van deze vergelijking

ik kom voor a=46,84 uit. Als ik hiermee dan d probeer uit te rekenen kom ik:

46,84cosh(d/46,84)=60
d/46,84 = cos-1(60/46,84)

dus d = (cos-1(60/46,84))46,84)

Dit gaat echter niet door die bgcos. Weet je hoe dit komt?

In een oefening in mijn cursus zie ik ook een oefening staan waarbij dit ook gebeurt.

d/60=cos-1(7/6)=0.569 (Met de rekenmachine komt dit niet uit)

Alvast bedankt

jonath
9-8-2018

Antwoord

Printen
Je moet wel de inverse van $\cosh$ hebben niet die van de cosinus.

Zie Wikipedia: hyperbolic function

kphart
9-8-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb