De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Kansverdelingen

Parameters schatten

Ik heb een kansverrdeling waarvan ik de dichtheidsfunctie niet ken. De kansverdeling wordt door vijf parameters bepaald te weten a[0], c[0], a[1], c[1] en M. Een cijfer tussen vierkante haakjes moet gelezen worden als een subscript. De eerste vijf ruwe momenten zijn als volgt (in Maple notatie):

E(T[0]) : = m[1] = M*a[1]/(M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])
E(T[0]^2) : = m[2] = 2*M^2*a[1]^2/((M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+2*a[0]*a[1]+a[1]*c[0]))

E(T[0]^3) : = m[3] = 6*M^3*a[1]^3/((M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+2*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+3*a[0]*a[1]+a[1]*c[0]))

E(T[0]^4) : = m[4] = 24*M^4*a[1]^4/((M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+2*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+3*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+4*a[0]*a[1]+a[1]*c[0]))

E(T[0]^5) : = m[5] = 120*M^5*a[1]^5/((M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+2*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+3*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+4*a[0]*a[1]+a[1]*c[0])*(M*a[0]*c[1]+5*a[0]*a[1]+a[1]*c[0]))

Je kunt alle k-de ruwe momenten voor k $>$ 2 schrijven als functies van m[1] en m[2]. Het lijkt dus dat de dichtheidsfunctie door slechts twee parameters bepaald wordt te weten m[1] en m[2].

De vraag is nu: is het mogelijk de parameter M te schrijven in termen van m[1] en m[2] zonder de parameters a[0], c[0], a[1], c[1].

Ad van
30-12-2017

Antwoord

Printen
Nee, de momenten zijn bekend zodra de vier producten $Ma_1$, $Ma_0c_1$, $a_0a_1$, en $a_1c_0$ bekend zijn.
De keuzen $M=a_0=a_1=c_0=c_1=1$ en $M=a_0=c_0=2$, $a_1=1/2$, en $c_1=1/4$ zorgen beiden dat die vier producten gelijk zijn aan $1$ en dus dat $m_1=1/3$ en $m_2=1/6$ (en in het algemeen $m_k=2/((k+1)(k+2))$).

kphart
4-1-2018


Poisson-verdeling

Hoe kan je de som van poisson-verdeling (3+4) berekenen aan de hand van het 95% kwartiel. Gegeven de vraag: Wat is de minimum voorraad om een stockout te vermijden met minstens 95% van winkel A en B als het aantal artikels dat ze samen per dag verkopen: Z = X1 + X2 = (3+4) is

kymani
2-1-2018

Antwoord

Printen
De som $Z$ is Poisson verdeeld met $\lambda=7$ (aangenomen dat de winkels onafhankelijk zijn); je voorraad $v$ moet dus zo groot zijn dat $P(Z\le v)\ge0{,}95$.

kphart
8-1-2018


Normale verdeling

Wat is het verschil met normalcdf en invNorm? Wanneer moet ik welke gebruiken?

Dilara
13-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Dilara,

Normalcdf: grenzen van de oppervlakte onder een deel van de normaalcurve zijn gegeven, je kunt de bijbehorende oppervlakte (dus: kans) berekenen.

Bij InvNorm is dit andersom: de oppervlakte (dus: kans) is gegeven, je kunt de rechter grens berekenen van de bijbehorende oppervlakte. De linker grens is hierbij altijd min-oneindig.

In beide gevallen moeten gemiddelde en standaardafwijking gegeven zijn.

GHvD
13-1-2018


Normale verdeling

De tijd die atleet Ruben over de 15 km loopt is normaal verdeeld met een gemiddelde van 47 minuten en 3 seconde en een standaardafwijking van 50 seconden.
  • Bereken in sec nauwkeurig de tijd die Ruben in slechts 2% van de gevallen overschrijdt.
Dit is de som en ik had het eerst zo berekend:
opp=Invnorm(0,02....)

Maar in het antwoordenboek staat 0,98 waarom kan dit niet met 0,02 want er staat niet dat 2% links of rechts staat?

Dilara
14-1-2018

Antwoord

Printen
Dat staat er wel: `overschrijden' is `groter dan' en dat ligt rechts. Je moet dus het punt hebben waar $2\,\%$ van de oppervlakte rechts zit.

kphart
14-1-2018


De Z-waarde (99%) berekenen

Hoe bereken je de z99% waarde als $\sigma$= 16, gemiddelde steekproef = 509,5 en de standaardafwijking van het gemiddelde = 0,5060, N = 1000. In mijn syllabus wordt deze zo berekend:
P(µ-a.$\sigma<$X$<$µ+a$\sigma$)=0,99 om uiteindelijk P(0$<$Z$<$a) = 0,495 en a= 2,58 uit te komen.
Echter staat er geen uitleg bij en werd er ook geen uitleg gegeven in de les over deze opgave. Zou u mij kunnen helpen?

Romy
16-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Romy,

Eerst maar eens een schets om goed inzicht te krijgen in de vraag. Voor een standaardnormaalverdeling ziet de schets er zo uit:

q85536img1.gif

Een Z-waarde geeft aan wat het verschil is tussen een grens (hier: de waarde a) en het gemiddelde, uitgedrukt in een aantal keer de standaardafwijking. Bij de standaardnormaalverdeling is de standaardafwijking 1, dus de afstand van gemiddelde naar a is gelijk aan Z.
De vraag is dus eigenlijk: "welke waarde moeten we kiezen voor a, opdat de oppervlakte onder de kromme tussen $\mu$-a en $\mu$+a gelijk is aan 0,99?" Dan moet de oppervlakte tussen $\mu$ en $\mu$+a gelijk is aan de helft van 0,99. Bij $\mu$ eisen we dus: opp tussen 0 en a is 0,495, ofwel:

P(0$<$Z$<$a) = 0,495

Met behulp van een rekenapparaat of een tabel vinden we: a=2,58.

GHvD
18-1-2018


Percentiel

Gegeven: een kansveranderlijke X volgt N(50;100)'
-Geef het percentiel dat hoort bij 38
-Geef de z-waarde en de x-waarde die horen bij Q(0,67)

Ik kan hier niet aan beginnen en weet nizt welke formules ik moet gebruiken. Ik dacht eerst de z-waarde van 38 te zoeken, maar dan kom ik op -0,31 en dat in te vullen in: u+z*o maar dan kom ik iets verkeerd uit. De uitkomt zou 12 moeten zijn voor het percentiel, 0,44 voor de z-waarde en 54 voor de x-waarde.

sarah
17-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Sarah,

Allereerst denk ik dat je bedoelt dat de standaarddeviatie van X gelijk aan 10 is, niet 100. Anders passen de gegeven antwoorden niet.

Om inzicht te krijgen in vragen over de normaalverdeling is het handig om een schets te maken:

Teken de normaalkromme, geef gemiddelde en standaardafwijking aan, geef de grenzen aan die een relevant gebied onder de kromme insluiten (vaak ligt één van de grenzen in het oneindige) en arceer dit relevante gebied. In dit geval ziet die schets er zo uit:

q85550img1.gif

Gevraagd wordt de oppervlakte A van het grijze gebied (en dan vermenigvuldigen met 100 om hiervan een percentiel te maken). Je kunt deze oppervlakte berekenen als de linker- en rechter grens hiervan bekend zijn, het gemiddelde en de standaardafwijking. Gebruik hiervoor een grafische rekenmachine, een rekenprogramma (bv Excel), of een hulpje zoals hieronder:
Je kunt ook gebruik maken van een tabel. Hiervoor moet je de vraag eerst transformeren naar een standaardnormaalverdeling. We maken een nieuwe variabele Z volgens:

Z=(x-$\mu$)/$\sigma$

Voor x=38 wordt dit:

Z = (38-50)/10 = -1,2

Hiermee wordt de vraag 'vertaald' naar:

q85550img2.gif

Met behulp van een tabel of een rekenapparaat vinden we: A$\approx$0,115. Dit komt overeen met een percentiel van 11,5 (afgerond op gehelen: 12).

Dan de tweede vraag. Als we uitgaan van een standaardnormaalverdeling, dan ziet de bijbehorende schets er zo uit:

q85550img3.gif

Met behulp van een tabel (of een rekentool) vinden we: Z$\approx$0,4399

Deze Z-waarde geeft aan wat het verschil is tussen een waarde x en het gemiddelde, uitgedrukt in een aantal keer de standaardafwijking. De schets voor de oorspronkelijke variabele x ziet er dan zo uit:

q85550img4.gif

De standaardafwijking is 10, dus Z·$\sigma\approx$4,399. De gevraagde waarde van x wordt dan:

x=50+4,399$\approx$54

Hierin herken je ook weer de transformatie-formule:

Z=(x-$\mu$)/$\sigma$

dus:

x=Z·$\sigma$+$\mu$

GHvD
18-1-2018


Standaardafwijking berekenen bij een normaalverdeling

Een bakker bakt broden van 1000 gram. Normaal verdeeld. Wat is de standaardafwijkingen als het gemiddelde gewicht 1000 gram is en 5% van de broden minder weegt dan 900 gram? Ik heb een gr TI-84 Plus. Ik vul eerst bij Y1 in: normcdf (-10^99, 900, 1000, X). Bij Y2 0,05. Dan ga ik naar window en vul bij X min = 0, en bij Ymin ook 0 in. Wat vul ik bij Xmax en Ymax in? Welke knoppen moet ik nu verder indrukken?

Saskia
19-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Saskia,

Voor het instellen van het window maak je een ruwe schatting van de x- en y-waarden van het snijpunt van Y1 en Y2. Immers, je wilt dit snijpunt straks binnen het window zien.

In de Y-richting is dit niet zo moeilijk: Y2 is constant, 0,05. Het snijpunt komt dus hoe dan ook op hoogte Y=0,05 te liggen. Wanneer je kiest: YMIN=0 en YMAX=0,10, dan ligt het snijpunt straks mooi in het midden van de hoogte van je scherm. Je kunt ook YMAX=0,15 of YMAX=0,20 kiezen. Dan zie je een groter deel van de functie Y1, dat kan handig zijn wanneer je het snijpunt niet zo goed geschat hebt. Maar kies niet YMAX=20 of YMAX=100! Als je dat zou doen, dan worden de grafieken van Y1 en Y2 platgedrukt tegen de onderkant van je scherm.
Kortom: maak een redelijke schatting, kies liever een iets te ruim window dan iets te krap, maar niet 10x of 100x te ruim.

Voor de X-as moet je bedenken wat X voorstelt: in dit geval is X de (gezochte) standaardafwijking. Een standaardafwijking is nooit negatief, dus XMIN=0 is prima.
Voor XMAX maken we weer een schatting hoe groot deze standaardafwijking ongeveer zou kunnen zijn. Eerst maar even een schets (zoals je natuurlijk bij elke vraag over de normaalverdeling maakt):

q85568img2.gif

Wanneer je vanuit het gemiddelde 1 keer de standaardafwijking naar links gaat, dan is volgens de vuistregels van de normaalverdeling de oppervlakte onder dit deel van de curve 34% van de totale oppervlakte. Verder naar links is dan nog 50-34=16% over. Volgens de gegevens is de oppervlakte links van 900 gram 5%. De standaardafwijking is dus ruim kleiner dan 1000-900, dus ruim kleiner dan 100. Kies XMAX=100, dan weet je zeker dat de werkelijke waarde straks binnen het window valt.

Samengevat
Maak een ruwe schatting van de waarde die je gaat vinden (hier: met behulp van de vuistregels voor de normaalverdeling). Kies je window gerust 2x, 5x of eventueel 10x wijder dan je schatting. Hiermee voorkom je dat grafieken bij een iets verkeerde schatting buiten het window komen, dan zie je gelijk niets meer. Maar kies niet 100x of 1000x te wijd, want dan verschrompelen je curven tot platte figuren (rechte lijnen).

OK zo?

GHvD
19-1-2018


Re: Normale verdeling

Bedankt voor het antwoord. Als ik mijn window heb ingesteld dan ga ik daarna naar 2nd Calc toe en dan naar snijpunt. Vervolgens vraagt de GR Eerste kromme? En dan Tweede kromme? Gok? Dan vind ik het snijpunt. Klopt dit?

Nu heb ik gehoord dat het ook handig is om de Zoomfit te gebruiken alleen weet ik niet hoe en waarom precies. Ik heb de TI 84 plus.

Saskia
19-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo Saskia,

Wanneer jouw rekenmachine een snijpunt van twee krommen moet bepalen, dan moet je jouw rekenmachine wel vertellen over welke twee krommen het gaat. Wanneer je maar twee krommen hebt ingevoerd, is het wel logisch dat het om die krommen gaat. Maar het zit nu eenmaal in het programmaatje van de rekenmachine om naar de krommen te vragen.

Deze vraag wordt natuurlijk wel relevant wanneer je drie of meer krommen hebt ingevoerd. De rekenmachine moet dan weten of je een snijpunt van Y1 en Y2 wilt weten, of Y1 en Y3, of Y2 en Y3. Met de pijltje-links/pijltje-rechts-toetsen kan je een cursor over één van de krommen laten lopen. Met de pijltje-omhoog/pijltje-omlaag-toetsen verplaats je de cursor naar een andere kromme. Met ENTER selecteer je de kromme waar de cursor op staat.

Wanneer je maar twee krommen hebt ingevoerd, kan je gewoon twee keer ENTER intoetsen om de twee krommen te selecteren.
Vervolgens krijg je de vraag "Guess?". Plaats de cursor in de buurt van het snijpunt dat je zoekt. Dit is eigenlijk alleen relevant wanneer de krommen meerdere snijpunten hebben, je kunt de rekenmachine dan dwingen om het juiste snijpunt te kiezen. Wanneer er maar één snijpunt is, dan is elke 'guess' goed.

Zelf hou ik niet van de optie 'Zoomfit'. Ook bij deze optie moet je eerst zelf bruikbare waarden voor XMIN en XMAX bepalen. De optie Zoomfit kiest dan waarden voor YMIN en YMAX zodat de krommen binnen het window precies beeldvullend worden. Maar het kan zijn dat de x-as en/of y-as dan geheel buiten beeld vallen. Je ziet dan wel krommen, maar je bent elke referentie kwijt. De optie helpt je dus niet met het 'lastige werk', en als je na Zoomfit niet meer begrijpt wat je ziet, ben je alleen maar nog verder van huis. Je kunt beter proberen om zelf te begrijpen hoe de krommen ongeveer lopen, zodat je met eigen inzicht het relevante deel van de grafieken zichtbaar kunt maken.

Samengevat: je weet nu hoe je de krommen Y1 en Y2 zichtbaar kunt maken. Vervolgens kies je 2nd Calc, dan optie 'intersect'. Dan twee keer 'Enter' om de twee krommen te selecteren (aangenomen dat je niet een Y3 hebt ingevoerd), en nogmaals 'Enter' om de 'Guess' te bevestigen. Je rekenmachine zoekt het snijpunt. De x-coördinaat van dit snijpunt is de gevraagde standaardafwijking.
Ik vind X=60,795689, jij ook?

Tip: Met 'clear' ga je naar het basisscherm. Wanneer je daar 'X' 'Enter' intoetst, dan zie je dat je met 'X' door kunt rekenen met de gevonden waarde. Handig, toch?

GHvD
20-1-2018


Van samengestelde cdf naar samengestelde pdf

Beste,
Ik ben een vraag tegengekomen in mijn boek die stelde:
voor continue variabelen X en Y geldt F(x,y)=
0.5xy(x+y) als 0$<$x$<$1,0$<$y$<$1
0.5x(x+1) als 0$<$x$<$1,y$\ge$1
0.5y(y+1) als 0$<$y$<$1,x$\ge$1
1 als x$\ge$1,y$\ge$1

Hoe kan ik hiervan de samengestelde pdf vinden? Ik weet dat dit gedaan kan worden door te differentiëren maar kan het goede antwoord (f(x,y)=x+y) maar niet zien te vinden. Ook: hoe zou ik dan dmv deze pdf P(X+Y$<$0.5) kunnen vinden?

Alvast erg bedankt

Walter
23-1-2018

Antwoord

Printen
De regel, die vast wel in je boek staat is
$$
f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}F(x,y)
$$het probleem is dat dit alleen $x+y$ oplevert in het vierkant $[0,1]^2$; voor $x,y\ge1$ is $F$ constant $1$, dus daar geldt $f(x,y)=0$. In de andere twee gebieden gebeurt iets dergelijks.
Maar $X+Y $<$ 0.5$ speelt zich geheel binnen het vierkant $[0,1]^2$ af en daar kun je met de integraal van $x+y$ toe:
$$
\int\!\!\!\!\int_D x+y\,d(x,y)
$$Waarbij $D=\{(x,y):x+y\le0.5\}$.

kphart
24-1-2018


Re: Discreet of continu

Een handig 'hulpje' zou kunnen zijn dat je je afvraagt welke waarden een variabele aan kan nemen... en je dan afvragen of je alle mogelijke waarde op zou kunnen noemen en zo ja, dan is het discreet. Zo nee, dan is het continu!

Yanin
2-3-2018

Antwoord

Printen
Handig...
Bedankt!

Naschrift
De vraag is alleen nog even of 'Zo nee, dan is het continu...' wel altijd klopt. Aantallen (bijvoorbeeld) zijn in het algemeen discreet, maar dat kan je niet allemaal opnoemen. Misschien kan je beter praten over het kunnen opnoemen van alle tussenwaarden. Dat werkt misschien...

WvR
2-3-2018


Perfect Pairs

Voor het berekenen van de verwachte waarde is de formule - inzet + (kans * uitkering).
Om de verwachte waarde van een Perfect pair te berekenen, uitgaande van 4 decks en een inzet van €1,- doe ik: -1+3/207*31= -0.55
Ik vind het alleen lastig om de kans te berekenen bij same colour pair en mixed pair. Kan iemand mij hierbij helpen?

Kimber
28-3-2018

Antwoord

Printen
Hallo Kimberly,

Ik ben niet zo thuis in kansspelen, maar ik neem aan dat een 'perfect pair' twee identieke kaarten inhoudt. De denkwijze achter deze kans is:
  • De eerste kaart is willekeurig
  • Er zijn nog 207 kaarten over, 3 hiervan zijn identiek aan de eerste kaart.
  • De kans dat je één van die drie kaarten trekt, is 3/207
'Same colour pair' zal wel betekenen: twee rode of twee zwarte kaarten met dezelfde waarde. De kans hierop bereken je volgens dezelfde redenering:
  • De eerste kaart is willekeurig
  • Er zijn nog 207 kaarten over, 7 hiervan hebben dezelfde waarde en dezelfde kleur als de eerste kaart (bv: als de eerste kaart harten aas is, dan zijn er nog 3 andere harten azen en 4 ruiten azen)
  • De kans dat je één van deze zeven kaarten trekt, 7/207
Voor mixed pair (een rode en een zwarte kaart met dezelfde waarde?) volg je dezelfde redenering, ik kom op een kans van 8/207.

GHvD
28-3-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb