De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Waarom is een integraal 0

Waarom is -1∫1 van √(x2 - x4) dx = 0?
(zonder het daadwerkelijk te berekenen)

Nisrin
8-3-2020

Antwoord

Printen
Dat lijkt me niet zo te zijn. $\forall x \in ]-1,1[$ en $x \neq 0: f(x) > 0$. De bepaalde integraal zal dus ook groter zijn dan 0.

js2
8-3-2020


Integraal over het oppervlak van een bol

Hallo,

Ondanks mijn vele zoekwerk kan ik het antwoord op volgende vraag niet vinden.

Ik heb de vergelijking van een bol:

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1

Ik een functie die voor elk punt in de 3D ruimte een bepaalde waarde teruggeeft, dus f(x,y,z). Deze functie stelt de illuminatie voor, dus hoeveelheid licht/m2, maar dit is verder onbelangrijk.

Nu zou ik de totale hoeveelheid licht op de bol moeten berekenen. Dit zou dan de integraal zijn int(f(x,y,z)·d1·d2) waarbij d1 en d2 dan 2 loodrechte vectoren zijn in het raakvlak in dit punt.

Ik kom hier langs geen kanten uit. Ik moet op een of andere manier dus integreren over heel het oppervlak en zal dan d1 en d2 in functie van dx en dy moeten zetten neem ik aan.

Het beste wat ik gevonden heb is deze website die op een soortgelijke wijze de oppervlakte van een bol bepaalt.

Is deze vraag onmogelijk moeilijk of zie ik iets over het hoofd? In ieder geval al een enorme bedankt voor wie me zou helpen.

Matthias

Matthi
1-4-2020

Antwoord

Printen
Ik zou in eerste instantie proberen over te gaan op bolcoördinaten. Afhankelijk van hoe ingewikkeld de functie $f(x,y,z)$ er uitziet is dit een makkelijke tot moeilijke oefening.

js2
2-4-2020


Functie bepalen na vermenigvuldiging vlakdeel

Gegeven is f(x)=-x2+1. Vlakdeel V is de oppervlakte van de functie boven de x-as met linkergrens -1 en rechtergrens 1. Deze heeft dus een oppervlakte van 1,33333... Door f(x) in de richting van de positieve y-as te verschuiven, ontstaat functie g(x) waarvan de oppervlakte 3V is.
  • Hoe bepaal ik nu functie g(x)?

Marthe
13-4-2020

Antwoord

Printen
Als je $f$ verschuift over $
\left( {\matrix{
0 \cr
p \cr

} } \right)
$ krijg je $
g(x) = - x^2 + 1 + p
$.

De nulpunten van $g$ zijn $
x = - \sqrt {1 + p}
$ en $
x = \sqrt {1 + p}
$.

Nu geldt:

$
\int\limits_{ - \sqrt {1 + p} }^{\sqrt {1 + p} } { - x^2 + 1 + p\,\,dx\,\, = 4}
$

Zou het dan lukken?

WvR
13-4-2020


Re: Functie bepalen na vermenigvuldiging vlakdeel

Het is gelukt! Heel erg bedankt. Ik heb alleen wel alleen met behulp van de GR op kunnen lossen door y=4 en het ingevulde intergraal te plotten en vervolgens de snijpunten. Kan dit intergraal wel gewoon exact berekent worden of is dat unerhaubt erg moeilijk?

Marthe
13-4-2020

Antwoord

Printen
Ik had het zo aangepakt. Volgens mij is dat wel te doen.

$
\eqalign{
& \int\limits_{ - \sqrt {1 + p} }^{\sqrt {1 + p} } { - x^2 + 1 + p\,\,dx} = 4 \cr
& \left[ { - {1 \over 3}x^3 + (1 + p)x} \right]_{ - \sqrt {1 + p} }^{\sqrt {1 + p} } = 4 \cr
& - {1 \over 3} \cdot \left( {\sqrt {1 + p} } \right)^3 + (1 + p) \cdot \sqrt {1 + p} - \left\{ { - {1 \over 3}\left( { - \sqrt {1 + p} } \right)^3 + (1 + p) \cdot - \sqrt {1 + p} } \right\} = 4 \cr
& - {1 \over 3} \cdot (1 + p)^{{3 \over 2}} + (1 + p)^{{3 \over 2}} - \left\{ {{1 \over 3}(1 + p)^{{3 \over 2}} - (1 + p)^{{3 \over 2}} } \right\} = 4 \cr
& {2 \over 3}(1 + p)^{{3 \over 2}} - \left\{ { - {2 \over 3}(1 + p)^{{3 \over 2}} } \right\} = 4 \cr
& 1{1 \over 3}(1 + p)^{{3 \over 2}} = 4 \cr
& (1 + p)^{{3 \over 2}} = 3 \cr
& 1 + p = \root 3 \of {3^2 } \cr
& p = \root 3 \of {3^2 } - 1 \cr}
$

Als ik verder geen fouten gemaakt heb...

WvR
13-4-2020


Volume integraal met impliciete grenzen

De opdracht is als volgt:

Bereken: $
\int {\int {\int {y\,\,dxdydz} } }
$

De grenzen zijn als volgt: 0$\le$x,y,z$\le$1, 2$\le$x+y+z.

De integraal zelf bepalen lukt natuurlijk wel echter is het bepalen van de juiste grenzen onduidelijk voor mij. Ik weet niet goed hoe ik voor alle 3 de variabele een expliciete uitdrukking in de andere vind.

Steef
19-4-2020

Antwoord

Printen
Beste Steef,

Het kan helpen om het integratiegebied visueel voor te stellen: een goede schets is heel handig bij het bepalen van de grenzen.

De eerste voorwaarde, namelijk dat $x$, $y$ en $z$ alle drie gelegen zijn tussen 0 en 1, betekent dat het gebied gelegen is binnen een kubus, namelijk de eenheidskubus vanuit (0,0,0) en met tegenovergelegen hoekpunt (1,1,1).

De vergelijking $x+y+z=2$ stelt een vlak voor en dit vlak verdeelt die kubus in twee delen. Het vlak gaat door drie hoekpunten van de kubus, namelijk (1,1,0), (1,0,1) en (0,1,1). Omdat de voorwaarde (ongelijkheid) $x+y+z \ge 2$ is en bijvoorbeeld het hoekpunt (1,1,1) dus tot het gebied behoort, weet je welk van de twee delen het gezochte gebied is (het kleinere, verder weg van de oorsprong).

Voor het bepalen van de grenzen kan je nu een volgorde kiezen. Projecteer het gebied (een piramide) bijvoorbeeld op het $xy$-vlak en het integratiegebied wordt daar een eenvoudige driehoek. Kies ook hier een volgorde en bepaal tot slot de grenzen voor $z$.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
19-4-2020


Volume integraal

Ik heb een vraag over de integraal:

$\int{}$dx$\int{}$dz$\int{}$sin(ln(y))z/x2(y-1)(e-y)

De grenzen zijn: 1 tot e, 1 tot √e en x tot z2, respectievelijk.

Ik zie niet hoe ik deze functie moet primitiveren aangezien het mij niet met partieel of substitutie methodes lukt.

Alvast bedankt voor de hulp,
Bram

Bram
19-4-2020

Antwoord

Printen
Een van de dingen die hier waarschijnlijk werkt is veranderen van integratievolgorde. Ik heb mijn twijfels over de gedaante van de integraal; ik lees hem als volgt
$$\int_1^e\int_1^{\sqrt e}\int_x^{z^2} \frac{\sin(\ln y)\cdot z}{x^2(y-1)(e-y)} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x
$$Hier heb je aan de buitenkant de rechthoek gegeven door $1\le x\le e$ en $1\le z\le\sqrt e$, maar daarbinnen kan $x$ zowel kleiner als groter dan $\sqrt z$ zijn en dan zou je de integraal over twee deelgebieden apart moeten berekenen.

Als je als extra eis meeneemt dat $x\le z^2$ moet gelden kun je de integraal makkelijk berekenbaar maken
Van $1\le x\le e$, $\sqrt x\le z\le\sqrt e$, en $x\le y\le z^2$ kunnen we door volgorde veranderen maken: $1\le y\le e$, $1\le x\le y$, en $\sqrt y\le z\le\sqrt e$, de integraal wordt dan
$$\int_1^e\int_1^y\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} \frac{\sin(\ln y)}{(1-y)(y-e)}\cdot \frac1{x^2}\cdot z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
$$de integralen naar $x$ en $z$ zijn makkelijk: $\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} z\,\mathrm{d}z=\frac 12(e-y)$, en $\int_1^y\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1-\frac1y=\frac{1-y}y$.
Dan blijft
$$\int_1^e\frac12\frac1y\sin(\ln y)\,\mathrm{d}y
$$over, en die is nu makkelijk te doen.

kphart
19-4-2020


Integer f(x) in absolute waarden

Goede morgen,
ik stoot op een probleem bij het oplossen van integralen in absolute vorm geschreven.
Ik Neem:
INT |x+1|dx en redeneer
|x2+x| +C of
±(x2+x)+C
Met grenzen 2 en -2 vinden we dan:
±[(4/2)+2))-(2-2)}=±4
Mijn gevoel is dat ik toch niet goed bezig ben.Antwoord zou 5 moeten zijn volgens mijn antwoorden multiple choice.
Als ik de tekenig maal zie ik twee rechten
y(1)=x+1 en y(2) =-x-1
Snijpunt op y=1 en kleine driehoek daaronder geeft: (2x1)/2 = 1 en grotere driehoek erboven geeft (4x2)/2=4 4.Dus samen 5 en dat antwoord klopt (staat in multiple choice aangegeven met 3 andere waarden
neem ik INT |2-x|dx= |2x-x2/2| +c maar waarden 4 en -1
geven dan 0-(-2-8)=10. Zie ik naar de grafieken dan bekom ik:
(3x3)/2=9/2 en (2x2)/2=2 en opgetelsd 9/2+2=13/2 .
En die antwoord is weer het juiste volgens mijn multipen lijstje van vier.
Hoe komt het nu dat ik met integreren en invoer van grenzen een andere waarde bekom dan bij de grafieken die een juist weergave opleveren volgens mijn antwoordregister . Ben ik nu op goede weg?
Vriendelijke groeten,

Rik
29-4-2020

Antwoord

Printen
Integralen met een absolute waarde zijn altijd een beetje vervelend: je moet je interval in stukken knippen waar het gedeelte tussen $|\ |$ teken vast is. Je eerste voorbeeld wordt:
$$\int_{-2}^2|x+1|\,\mathrm{d}x =\int_{-2}^{-1}-x-1\,\mathrm{d}x + \int_{-1}^2 x+1\,\mathrm{d}x
$$Je tweede opgave moet op een dergelijke manier.

Overigens kun je bij multiple-choicevragen stiekem wegkomen met een plaatje, en zeker hier: de grafieken bestaan uit rechte lijnen en de integraal is gewoon de oppervlakte en die lees je lekker snel uit het plaatje af.

kphart
29-4-2020


Bepaalde integraal met goniometrische functies

Goede morgen,
Ik weet niet goed hoe te beginnen aan deze oefening.
Gegeven :
f(x)=1+cos($\frac{\pi}{3}$-x) en g(x)=2cos2(x/2)
Bereken de oppervlakte tussen beide krommen tussen de grenzen ($x=0$ en $x=\frac43$)

Oplossing beginfase
f(x)=g(x)
1+cos($\frac{\pi}{3}$-x)=2cos2(x/2)
1+cos($\frac{\pi}{3}$-x) = 1+cos(x)
cos($\frac{\pi}{3}$-x)=cos(x)
$\frac{\pi}{3}$-x=x en $\frac{\pi}{3}$=2x en x=$\frac{\pi}{6}$

Vul ik deze waarden in bij f($\frac{\pi}{6}$) en g($\frac{\pi}{6}$) bekom ik voor beide waarden :
f($\frac{\pi}{6}$)=1+√3/2=(2+√3)2
g($\frac{\pi}{6}$)=1+√3/2 = (2+√3)/2

Zit ik tot hiertoe goed?
Zo dan, hoe moet het nu verder?

Het juiste antwoord voor deze oppervlakte zou 2 moeten zijn.
Graag mij wat verder op weg zetten zo iemand daar tijd voor kan vrijmaken.

Vriendelijke groeten

Rik
2-5-2020

Antwoord

Printen
Het snijpunt is goed, nu moet je $g-f$ van $0$ tot $\frac\pi6$ integreren en dan $f-g$ van $\frac\pi6$ tot $\frac 43$.

Aanvulling; de $\frac43$ in de vraag bleek $\frac43\pi$ te moeten zijn; in dat geval is er nog een snijpunt, namelijk bij $x=\frac76\pi$. Dan moet er dus drie keer geintegreerd worden:
$$
\int_0^{\frac\pi6}(g-f) + \int_{\frac\pi6}^{\frac76\pi}(f-g) +\int_{\frac76\pi}^{\frac43\pi}(g-f)
$$

kphart
2-5-2020


Tweede deelexamen integreren

Weet iemand mischien wat ik fout doe bij de volgende opgave ik heb mijn uitwerking opgestuurd.

Bereken:
Integraal 1 tot 2 |x2-3|
Er moet uikomen 4√3-6

Ik heb 4√3-2/3.

mboudd
2-5-2020

Antwoord

Printen
Het zal wel een rekenfoutje zijn...

q89763img1.gif

Die 'plus' moet een 'min' zijn.

WvR
2-5-2020


Tweede deel examen integraalrekening

Gegeven zie figuur de grafiek van:
f(x)=√x
g(x)=1/√x
0$<$a$<$1

Ik loop vast op het primitieve van g ik heb de tekening en mijn uitwerking opgestuurd.

mboudd
2-5-2020

Antwoord

Printen
Die $
\eqalign{g(x) = \frac{1}
{{\sqrt x }}}
$ lijkt wel heel erg op de afgeleide van $
y = \sqrt x
$. Zeg maar op een factor 2 na. Dus?

Of gebruik:

$
\eqalign{\int {x^n dx = \frac{{x^{n + 1} }}
{{n + 1}} + C\,\,\,als\,\,\,n} \ne 1}
$

WvR
3-5-2020


Integratie substitutie

∫1/(ex+1) dx
TIP:probeer in de teller ook een uitdrukking ex+1 te krijgen

ojay
5-5-2020

Antwoord

Printen
Hallo Ojay,

Als je neemt $u=e^x$, dus $du = e^x dx$, dan kun je het volgende doen:

$\eqalign{\int \frac{1}{e^x+1}dx = \int \frac{e^x}{e^x(e^x+1)} dx = \int \frac{1}{u(u+1)} du}$.

Met vriendelijke groet,

FvL
5-5-2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb