De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Integreren

De Wallis cosinus integraal voor n=even is 1/2×3/4...$\frac{\pi}{2}$.
Domein is 0-($\frac{\pi}{2}$).
Maar als domein is $\frac{\pi}{4}$ - $\frac{\pi}{3}$? Hoe dan?
Mvg Jan

Jan
4-1-2019

Antwoord

Printen
Net zo, maar het komt niet allemaal zo mooi uit, met partiële integratie vind je
$$
\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\cos^nx\,\mathrm{d}x = \frac1n\left[\cos^{n-1}x\,\sin x\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi3} + \frac{n-1}n\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x
$$Nu de grenzen invullen en je hebt een recurrente betrekking voor je integralen.

Voor $n=0$ krijg je $\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$ als antwoord.

kphart
5-1-2019


Integraal bepalen

Goedenavond!

Vandaag ben ik bezig met het oefenen van integreren. Ik loop echter tegen een som aan.. althans, de uitkomst van de som
Een integraal met bovengrens 0 en ondergrens -1 en f(x) = x^1/3 =
Zie dit hieronder als een notatie van een integraal!
0
x^1/3 = {3/4·x^$\frac{4}{3}$} = 3/4 · 0^$\frac{4}{3}$ - 3/4 · -1^$\frac{4}{3}$
-1

= 0 - 3/4 · -1^$\frac{4}{3}$
Dit is toch echt 3/4?!
Mijn antwoordenboeken en alle andere 'integral calculators' geven -3/4 aan. Maar -3/4 · -1 is toch 3/4?!
Het lijkt wel of ze de - tussen 0 en 3/4 niet meerekenen..
Weet u hoe dit komt? Of maak ik een rekenfout?

Vriendelijke groet,
Stijn

Stijn
5-1-2019

Antwoord

Printen
Je maakt inderdaad een rekenfout (eigenlijk een haakjesfout):
$(-1)^{4/3}=1$
Maakt dit het wat duidelijker?

js2
5-1-2019


Re: Integreren

Als n=0 dan is de integraal 0. n$\ge$2

jan
5-1-2019

Antwoord

Printen
$\cos^0x=1$, dus de integraal is de lengte van het interval.

kphart
6-1-2019


Re: Re: Re: Poolvergelijking ellips

Waarom eerst primitiveren en dan differentieren? Hoe differentieer ik e/√(1-e2) e is immers een constante.

jan
5-1-2019

Antwoord

Printen
Die gelijkheid geldt voor alle waarden van $e$ in het interval $(-1,1)$, je kunt dus even doen alsof $e$ variabel is en naar die variabele differentiëren.

kphart
6-1-2019


Oppervlakte bepalen

Goedemiddag.
Ik begrijp iets niet bij de volgende functie en zijn oppervlakte....

Gegeven is de functie: f(x)= sin(1/2x) tussen x=0 en x=3$\pi$
De integraal:
3$\pi$
-2cos(1/2·3$\pi$) - (-cos(1/2 · 0)
0

Hier komt 2 uit ... Maar als ik naar de grafiek kijk van deze functie vind ik dat totaal niet logisch....
Als ik dit integraal namelijk invul op https://www.integral-calculator.com/
Dan krijg je te zien dat tot 3$\pi$ het gebied van 0 tot 2$\pi$ groen is. Tot 3 $\pi$ is het rood.

Dan blijft toch de helft van dat groene gedeelte als oppervlakte over?! Als ik dit in het integraal invul dan komt daar: -2cos(1/2x) $\to$ -2cos(1/2·3$\pi$) = 0.
Dit geeft de oppervlakte boven de grafiek min de oppervlakte onder de grafiek aan.
Hoe kan als ik dit invul daar dan 0 uitkomen?

stijn
6-1-2019

Antwoord

Printen
De oppervlakte van linkerhelft van het groene stuk is gelijk aan
$$
\left[-2\cos\frac12x\right]_0^\pi=-2\cos\frac\pi2-(-2\cos0)
$$en daar komt toch echt $2$ uit. (Je was dus vergeten ook de ondergrens in te vullen).

kphart
6-1-2019


Re: Oppervlakte bepalen

Ja, dat begrijp ik dus niet echt..
Want als we in de functie F(x) 0 invullen. Dan is de oppervlakte daar toch ook 0 ?
Kijk: -2 cos(0) = -2 maar als je dan in de grafiek is die oppervlakte daar toch niet -2? maar gewoon 0?
Als je in de primitieve een x coordinaat invult dan krijg je toch de oppervlakte tot die x coordinaat?

stijn
6-1-2019

Antwoord

Printen
Nee, je laatste zin klopt niet. Een functie heeft meer dan één primitieve: $-2\cos\frac12x+1000$ is ook een primitieve van $\sin\frac12x$, net als $-2\cos\frac12x-5$. Dus de primitieve bestaat niet. Verder: "de oppervlakte tot die $x$-coördinaat" is op zijn minst niet volledig: je moet ook zeggen vanaf welke $x$-coördinaat je rekent.
Als $f$ positief is krijgen we de oppervlakte vanaf $x=a$ tot $x=b$ uit de integraal
$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
$$
Als we een primitieve, $F$, van $f$ hebben is die gelijk aan
$$
F(b)-F(a)
$$

kphart
6-1-2019


Re: Poolvergelijking ellips

ik heb als integraal:
2(1+t2) / [(1+e)+(1-e)t2 ]2 dt
Niet gelijkwaardig met de uwe.
Heeft u nog een hint?

jan
6-1-2019

Antwoord

Printen
We begonnen met
$$
\int\frac1{1+a\cos x}\,\mathrm{d}x
$$(is die $a$ ineens $e$ geworden?).
De substitutie $t=\tan\frac x2$, ofwel $x=2\arctan t$, levert
$$
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}
$$en
$$
\mathrm{d}x=\frac2{1+t^2}\,\mathrm{d}t
$$Er komt dus
$$
\int\frac1{1+a\cos x}\,\mathrm{d}x = \int\frac1{1+a\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac2{1+t^2}\,\mathrm{d}t
$$Nu netjes vereenvoudigen.

Ik zie niet waar jouw uitwerking vandaan komt.

kphart
7-1-2019


Re: Re: Poolvergelijking ellips

De a is idd een e (als constante) geworden.
We hebben het nog steeds over een poolvergelijking ellips.
De oppervlakte A ellips is dan A=1/2 integraal [0,2$\pi$] [(ed)/(1+ecos(x))]2 dx. Ik wil dus bewijzen dat deze gelijk is aan A=pi·a·b.
Ik moet dus eerst de integraal 1/(1+ecos(x))]2 dx hebben.
Dat is volgens mij:
1/(1-e) · integraal 2 /[1-e)t2+e+1 dt + (1-(e+1)/(1-e)) · integraal 2 /[1-e)t2+e+1 dt
Hoe verder? Heeft u een hint?
Mvg.

jan
7-1-2019

Antwoord

Printen
We begonnen twee antwoorden terug met
$$
\int\frac1{1+a\cos x}\,\mathrm{d}x
$$maar je hebt stiekem met
$$
\int\frac1{(1+a\cos x)^2}\,\mathrm{d}x
$$gewerkt, vandaar het verschil in integralen.
De laatste geeft (ik hou $a$ even aan)
$$
\int\frac{2(1+t^2)}{((1+a)+(1-a)t^2)^2}\,\mathrm{d}t
$$(uit de vorige vraag). Van de teller kun je $\frac2{1-a}((1-a)t^2+1+a-2a)$ maken, dan kun je de integraal als volgt splitsen:
$$
\frac2{1-a}\int\frac1{(1-a)t^2+(1+a)}\,\mathrm{d}t - \frac{4a}{1-a}\int\frac1{((1+a)+(1-a)t^2)^2}\,\mathrm{d}t
$$(jouw vorm kan ik niet krijgen).
De eerste geeft een arctangens; de tweede is, op een schaling na, van de vorm
$$
\int\frac1{(u^2+1)^2}\,\mathrm{d}u
$$Die is te splitsen, via $1=u^2+1-u^2$, als
$$
\int\frac1{u^2+1}\,\mathrm{d}u -\int u\cdot\frac u{(u^2+1)^2}\,\mathrm{d}u
$$De eerste geeft weer een arctangens, de tweede is met één stap partiële integratie (waarbij je $u/(u^2+1)^2$ primitiveeert) snel uitgerekend.

kphart
8-1-2019


Probleem rond substitutie integraal

Goede morgen.
Ik stel het volgend probleem:
Integraal van (√(1-x2))/x4
Met een substitutie kom ik op:
x=sin(t) en t= Arc(sin(x))
dx= cos(t)dt en vul in:
I(√(1-sin2(t)/sin4(t)=
I(cos(t)dt)/sin^(4)t=
I(d(sin(t))/sin^(4t)=
sin-3((t)/(-3) +C=
-1/(3)sin3(t))+C
-1/3 (3sin3(Arc(sinx)+C
De oplossing moet zijn:
-1/3((1-x2)/x))3+C.
Wat gaat er mis in deze redenering?.
Of zoek ik het te ver ?
Graag een mogelijk beter voorstel voor subsitutie van deze Integraal.
Partiële integratie bood op het eerste zicht ook geen oplossing die vergelijkbaar is met het gegeven antwoord
Ik probeerde ook al 1-x2= t2 maar daar kom ik ook niet uit.
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Le
12-1-2019

Antwoord

Printen
Had je https://www.integral-calculator.com al geprobeerd? Gebruik SHOW STEPS om de verschillende stappen te zien.

WvR
12-1-2019


Hoe integreer je asin, acos en atan?

Ik ben op zoek naar de integraal van atan(x) als onderdeel van een partiele integraal.

Tom
12-1-2019

Antwoord

Printen
Partieel integreren, maak er een product van:
$$
\int 1\cdot\arctan x\,\mathrm{d}x
$$en integreer de $1$ in de eerste stap.

kphart
12-1-2019


Re: Re: Re: Poolvergelijking ellips

ANTW integraal:
2/[(1-e)^(3/2)*SQRT(1-e)]*arctg(sqrt(1-e)/sqrt(e+1)*tg(x/2) + 4e/(2(1-e))*[arctg[(sqrt(1-e)/sqrt(e+1)*tg(x/2)+
[sqrt(1-e)/sqrt(e+1)*tg(x/2)]/[(1-e)/(e+1)tg^(2)(x/2) + 1] + C

Gaat u akkoord?

Jan
15-1-2019

Antwoord

Printen
Het ziet er wat onoverzichtelijk uit en niet alle haakjes zijn in evenwicht maar het is bijna goed; helemaal aan het begin moet je SQRT(1+e) hebben.
Na wat opknappen komt er dit:
$$
\frac2{(1-e^2)^{\frac32}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}t\right) -
\frac{2e}{1-e^2}\frac{t}{(1-e)t^2+(1+e)}
$$
met $t=\tan\frac x2$ natuurlijk.

kphart
17-1-2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb