De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Substitutiemethode

Geachte heer/ mevrouw,

Ik loop al een tijdje vast bij het oplossen van de volgende opdracht en zou het zeer op prijs stellen wanneer u mij op weg zou willen helpen. Ik moet namelijk de primitieve van de volgende opdracht bepalen:

(x+3)/2.

Volgens het antwoordenboek moet het antwoord ((x+3)/4)2, dus het kwadraat van (x+3)/4.Ik heb de opdracht met breuksplitsen proberen op te lossen, maar kom tot de volgende uitwerking:

0,5x+1,5=0,25x2+1,5x. Compleet iets anders dus!

Zou u mij alsjeblieft hiermee kunnen helpen. Ik kom helaas geen stap verder.

Alvast bedankt voor de hulp.

Groet

Jason
2-1-2018

Antwoord

Printen
Je kunt door te differentieren het antwoord gemakkelijk controleren. Wat denk je wat? Het antwoord van het antwoordboekje klopt niet.

$
\eqalign{
& F(x) = \left( {\frac{{x + 3}}
{4}} \right)^2 \cr
& F'(x) = 2\left( {\frac{{x + 3}}
{4}} \right) \cdot \frac{1}
{4} \cr
& F'(x) = \frac{{x + 3}}
{8} \cr}
$

Dat moet anders...

Gegeven $\eqalign{
f(x) = \frac{{x + 3}}
{2}
}$ zal de primitieve iets moeten zijn als $\eqalign{
F(x) = \frac{{(x + 3)^2 }}
{{...}}+C
}$.

De afgeleide van $\eqalign{
F(x) = \frac{{(x + 3)^2 }}
{{...}}+C
}$ wordt dan iets als $\eqalign{
F'(x) = \frac{{2(x + 3)}}
{{...}}
}$, maar dan zal die $...$ gelijk moeten zijn als $4$.

De primitieve wordt:

$\eqalign{
F(x) = \frac{{(x + 3)^2 }}
{4} + C
}$

Helpt dat?

WvR
2-1-2018


Re: Re: Integreren

Heel erg bedankt voor uw antwoord. Ik ben bezig met een artikel waarin jk een nieuwe kansverdeling presenteer voor reactietijden. Ik ben van plan het artikel op te sturen naar de British Journal of Mathematical and Statistical Psychology. Ik zou U graag willen vermelden voor uw hulp.

Er is echter nog een probleem. De formule binnen de uitgangsintegraal was (in Maple notatie):

(-t*a[0]+y)^(-(-c[0]+a[0])/a[0])*(M-y)^((M*c[1]-a[1])/a[1]);

De formule binnen de eindintegraal is:

(M-t*a[0])^(p-q-1)*(1-x)^(p-1)*x^(q-1);

Welke waarden moet ik nu voor x, p en q invullen om de formule binnen de uitgangsintegraal weer terug te krijgen?

Ik heb het verschillende keren geprobeerd maar het lukte me niet.

Ad van
3-1-2018

Antwoord

Printen
Dat gaat niet.
Ten eerste: in mijn antwoord staat $p+q-1$ in plaats van $p-q-1$.
Ten tweede: ik heb de integraal getransformeerd, niet alleen maar de integrand.
Ik heb de oorspronkelijke integraal twee keer getransformeerd: eerst opschuiven: $u=y-ta_0$ zorgt dat de ondergrens $0$ wordt. En daarna: door $u=(M-ta_0)x$ (of $x=u/(M-ta_0)$) wordt het integratieinterval teruggeschaald tot $[0,1]$.
Onderweg heb ik $p=Mc_1/a_1$ en $q=c_0/a_0$ gesteld. Als je alleen de functie transformeert hou je een exponent van $p+q-2$ over maar bij het transformeren van de integraal zorgt $\mathrm{d}u=\mathrm{d}(M-ta_0)x=(M-ta_0)\,\mathrm{d}x$ voor een extra factor $M-ta_0$ en dus voor een exponent van $p+q-1$.

kphart
3-1-2018


Re: Het vinden van de oplossing van een integraal

Het zou dan zo moeten zijn, dat met

p:=M*c[1]/a[1];

en

q:=c[0]/a[0];

de formule

(M-t*a[0])^(p-q-1)*Beta(p,q);

gelijk moet zijn aan

Int((-t*a[0]+y)^(-(-c[0]+a[0])/a[0])*(M-y)^((M*c[1]-a[1])/a[1]), y = t*a[0] .. M);

Heb ik dat goed begrepen?

Ad van
3-1-2018

Antwoord

Printen
Bijna, de $p-q-1$ moet $p+q+1$ zijn.
NB In de exponent van $y-ta_0$ staat $-\frac{-c_0+a_0}{a_0}$; dat heb ik onderweg vereenvoudigd tot $\frac{c_0-a_0}{a_0}$.

kphart
3-1-2018


Re: Re: Integreren

Als ik neem:

a[0]:=0.3;c[0]:=0.7;a[1]:=0.5;c[1]:=0.8;M:=5;t:=3;

en

p:=M*c[1]/a[1];

q:=c[0]/a[0];

Dan geeft:

Int((-t*a[0]+y)^(-(-c[0]+a[0])/a[0])*(M-y)^((M*c[1]-a[1])/a[1]), y = t*a[0] .. M) = 4067.062754;

en

(M-t*a[0])^(p-q-1)*Beta(p,q) = 5.618532223;

Ad van
3-1-2018

Antwoord

Printen
Maar met het juiste $p+q-1$ in plaats van het onjuiste $p-q-1$ gaat het wel goed.

kphart
3-1-2018


Raspen van een wortel

We raspen een wortel gedeeltelijk. We stellen de wortel voor als een cilinder: x2 + y2 =1 vanaf z=0 tot een hoogte van 15 cm. We stellen de rasp voor als het vlak: x+y+z=6. Bereken het volume van het overgebleven stuk wortel.

Zouden jullie kunnen helpen met deze vraag? Alvast bedankt.

Lena
3-1-2018

Antwoord

Printen
Snij de geraspte cilinder op hoogte $6$ door en klap het bovenste stukje om. Je krijgt een perfecte cilinder van $6\,\mathrm{cm}$ hoog.
Probeer zelf maar eens te bedenken waar zie $6$ vandaan komt; denk aan symmetrie.

kphart
3-1-2018


Re: Raspen van een wortel

Ik heb nog steeds geen idee hoe ik dit moet oplossen. Ik dacht een drievoudige integraal te nemen van de vergelijking: 6-x-y maar ik weet niet goed wat mijn grenzen dan zijn.

Lena
4-1-2018

Antwoord

Printen
Bedoel je dat je niet weet hoe je de inhoud van een cilinder met straal $1$ en hoogte $6$ kunt bepalen?
Met een integraal kan het ook: je moet dan inderdaad $6-x-y$ integreren en wel over de eenheidssschijf $D$, gegeven door $D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}$. Dat wordt dus een tweevoudige integraal. Je hebt vast al wel gezien hoe je daar een herhaalde integraal van moet maken.

kphart
4-1-2018


Re: Re: Re: Integreren

Heel erg bedankt voor de uitleg. Ik neem aan dat ik het goed begrijp, wanneer U zegt dat U twee maal gebruik heeft gemaakt van de substitutiemethode.

Ik wil U graag vermelden voor uw hulp in een artikel dat ik aan het schrijven ben.

Ad van
4-1-2018

Antwoord

Printen
Inderdaad, twee maal. Het kan natuurlijk ook in één keer met
$$
x=\frac{y-ta_0}{M-ta_0}
$$
ofwel
$$
y=(M-ta_0)x+ta_0
$$
maar dit leek me wel zo overzichtelijk.
Wat vermelding betreft: dat is prima

kphart
4-1-2018


Re: Re: Re: Re: Integreren

Op Wikipedia wordt de 'Generalized beta distribution' besproken::

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_beta_distribution

In Maple notation):

h(y):=(abs(a)*y^(a*p)*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)^q)/(y*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)*b^(a*p)*Beta(p,q)*(1+c*((y)/(b))^a)^p*(1+c*((y)/(b))^a)^q);

met 0 y (b^a/(1-c))^(1/a).

Zou het kunnen zijn dat de verdeling

g(t):=((c[0]*M^(-(M*a[0]*c[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*GAMMA((M*a[0]*c[1]+a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1])))/(GAMMA((a[0]+c[0])/a[0])*GAMMA(c[1]*M/a[1])))*((-t*a[0]+M)^(c[1]*M/a[1]+c[0]/a[0]-1)*Beta(c[0]/a[0], c[1]*M/a[1]));

met 0 t M/a[0] een gegeneralizeerde beta verdeling is?

Opnieuw dank voor uw tijd en moeite.

Ad van
4-1-2018

Antwoord

Printen
Het zou zo te zien kunnen, met $a=1$, $c=0$, $p=1$ en $q=\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}$ en dan $b$ zo aanpassen dat alle constanten kloppen.

kphart
4-1-2018


Re: Re: Re: Re: Re: Integreren

Opnieuw dank voor uw antwoord.

Als ik de transformaties

a:=1;
c:=0;
p:=1;
en
q:=(M*c[1])/a[1]+c[0]/a[0];

uitvoer op

h(y):=(abs(a)*y^(a*p)*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)^q)/(y*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)*b^(a*p)*Beta(p,q)*(1+c*((y)/(b))^a)^p*(1+c*((y)/(b))^a)^q);

dan krijg ik:

h(y):=((1-(y)/(b))^((M*c[1])/(a[1])+(c[0])/(a[0]))*((M*c[1])/(a[1])+(c[0])/(a[0])))/((1-(y)/(b))*b);

De beta-functie ie verdwenen.
Is dat wel de bedoeling?
Hoe moet ik dan precies 'b zo aanpassen dat alle constanten kloppen'.

Sorry voor mijn onbegrip.

Ad van
5-1-2018

Antwoord

Printen
Het enige in $g(t)$ dan niet constant is is $-ta_0+M$ en deze wordt tot de macht $\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}-1$ genomen.
In de gegeneraliseerde Beta-verdeling staat de $q$-de macht van $1-(\frac yb)^a+c(\frac yb)^a$ in de teller en die factor staat ook nog een keer in de noemer, eigenlijk staat hij dus in totaal tot de macht $q-1$ in de uitdrukking. Daarnaast hebben we nog $y^{pa-1}$ en, in de noemer $(1+c(\frac yb)^a)^{p+q}$.
Om de twee uitdrukkingen op elkaar te laten lijken neem ik eerste instantie $c=0$ want dan houden we $y^{pa-1}$ over en $(1-(\frac yb)^a)^{q-1}$ die laatste kunnen we op de macht van $M-a_0t$ laten lijken door $a=1$ te nemen. Door dan ook $p=1$ te nemen verdwijnt het variabele stuk $y^{pa-1}$ en houden we $(1-\frac yb)^{q-1}$ en $(M-a_0t)^{\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}-1}$ over. Dat suggereert de waarde voor $q$. Ten slotte moet $M-a_0t$ overgevoerd worden in $1-\frac yb$ en dat kan door er $M(1-\frac{a_0}{M}t)$ van te maken en dat suggereert dat $b=\frac{M}{a_0}$ genomen moet worden.

Dat de beta-functie verdwijnt is niet verwonderlijk: $\beta(1,q)$ is gewoon uit te rekenen. En ook in de grote uitdrukking kun je de $\Gamma$s en $\beta$ wegwerken door te gebruiken dat
$$
\beta(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
$$
Inderdaad: $g(t)$ laat zich vereenvoudigen tot
$$
c_0 M^{-(p+q)}\cdot\frac{p+q}{q}\cdot(M-a_0t)^{p+q-1}
$$
met $p=Mc_1/a_1$ en $q=c_0/a_0$.

kphart
5-1-2018


Re: Re: Re: Re: Re: Re: Integreren

Ik ben zelf iets anders te werk gegaan:

Ik ga voor de gegeneralizeerde beta verdeling even uit van:

h(y):=(abs(a)*y^(a*p)*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)^q)/(y*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)*b^(a*p)*Beta(p,q)*(1+c*((y)/(b))^a)^p*(1+c*((y)/(b))^a)^q);

Als ik dan, zoals U ook al voorstelde, neem:

c:=0;

a:=1;

p:=1;

dan krijg ik:

h(y):=((1-(y)/(b))^q*q)/((1-(y)/(b))*b);

met 0 y b. Nu is h(y) een functie met slechts twee parmeters nasmelijk b en q. Dat zou dus betekenen dat, als g(t):

g(t):=M^(-(M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(M*a[0]*c[1]+a[1]*c[0])*(-t*a[1]+M)^((M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))/(a[0]*M);

met 0 t M/a[1] geschreven kan worden als h(y), g(t) uiteindelijk een functie is, die te herleiden zou moeten zijn tot een functie met slechts twee parameters. Dat kan ook wel kloppen. Want alle ruwe momenten van g(t) die groter zijn dan 2 kunnen worden beschreven in termen van het eerste en tweede ruwe moment. Omdat in g(t) geldt 0 t M/a[1] moet ik in

h(y):=((1-(y)/(b))^q*q)/((1-(y)/(b))*b);

nemen b = M/a[1[. Als ik dan ook nog i.p.v. de variabele y de variabele t neem, krijg ik:

h(t):=((1-(t)/((M/a[0])))^q*q)/((1-(t)/((M/a[0])))*(M/a[0]));

Als ik vervolgens neem

h(t) = g(t) dan kan ik q oplossen. Ik krijg dan als oplossing een Lambert functie:

q:=LambertW(ln((-t*a[0]+M)/M)*M^(-(M*a[0]*c[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(-t*a[1]+M)^((M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(-M*t*a[0]^2*c[1]+M^2*a[0]*c[1]-t*a[0]*a[1]*c[0]+M*a[1]*c[0])/a[0]^2)/ln((-t*a[0]+M)/M);

In de opossing voor q komt de variabele t nog steeds voor.

Als ik vervolgens neem:

a[0]:=0.3;c[0]:=0.7;a[1]:=0.5;c[1]:=0.8;M:=5;t:=0.01;

Dan krijg ik voor q twee waarden namelijk 17.22915404 en 10739.08106

Met het Maple-commando 'simplify' krijg ik daarna echter maar één waarde, namelijk 17.22915404

Kennelijk kan de Lambert functie LambertW nog vereenvoudigd worden. Misschien is er dus een eenvoudigere oplossing voor q.

Ad van
7-1-2018

Antwoord

Printen
Hierboven worden af en toe $a_0$ en $a_1$ verwisseld; ik hou het op $a_0$, zoals in de oorspronkelijke vraag.
In mijn vorige antwoord heb ik laten zien dat $g(t)$ laat zich vereenvoudigen tot
$$
c_0 M^{-(p+q)}\cdot\frac{p+q}{q}\cdot(M-a_0t)^{p+q-1} = M^{-(p+q)}\cdot a_0 (p+q)\cdot(M-a_0t)^{p+q-1}
$$
met $p=Mc_1/a_1$ en $q=c_0/a_0$ (dat zijn niet de $p$ en $q$ van de gegeneraliseerde beta-verdeling maar mijn afkortingen); we kunnen dit verder vereenvoudigen door $p+q$ door één letter, zeg $r$, te vervangen. We krijgen dan
$$
M^{-r}\cdot a_0\cdot r\cdot(M-a_0t)^{r-1}
$$
met $r=\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}$ natuurlijk.

Terug naar het ombouwen tot gegeneraliseerde beta-verdeling: de oplossing(en) voor $q$ zouden onafhankelijk van $t$ moeten zijn en uit de handmatige vereenvoudiging van het vorige antwoord is een veel eenvoudiger formule voor $q$ gerold. Die formule krijgen we ook als we $h(y)$, wederom handmatig, wat vereenvoudigen, er komt
$$
b^{-q}\cdot q\cdot (b-y)^{q-1}
$$
Dat ziet er net zo uit als de formule voor $g(t)$ en we zien dat we er zijn met $b=M$, $y=a_0t$ en $q=\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}$.
NB de extra $a_0$ in de formule van $g(t)$ verdwijnt bij transformatie van de bijbehorende integralen: $\mathrm{d}y=a_0\,\mathrm{d}t$.

kphart
7-1-2018


Dubbel integraal polar

Dag wisfaq,

Ik heb een vraag over de dubbele integraal:

$\int{\int{}}$abs(x)rdrdq
over regio D met D= x2+y2$\le$a2

voor zover ik weet zit z=abs(x) altijd boven het XY vlak $<$dus positief volume$>$ maar als ik voor mijn binnenste integraal grenzen r=0 en r=a, buitenste integraal grenzen q=0 en q=2p kies, kom ik uit op 0... ik heb abs(x) naar polar heb getransformeerd als rcosq zonder absoluutstrepen (r is toch altijd positief?).

Alvast bedankt

Groeten,

Arend

Arend
7-1-2018

Antwoord

Printen
Maar $\cos\pi=-1$, de $\cos$ is negatief op het interval $(\frac\pi2,\frac{3\pi}2)$.

kphart
7-1-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb