WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrie

Goniometrische formules

Bereken de exacte waarde:

sin(40)·cos(35)·sin(15)

Ik heb dit reeds geprobeerd met de simpson formules, maar dit komt niet uit. Ik had sin40.cos35 samengenomen en nadien vermenigvuldigd met sin15.

Hoe kan dit opgelost worden?
Ruud
2-1-2018

Antwoord

Ik denk niet dat dit zich exact op laat lossen... Heb je de opgave wel goed overgenomen?
Zie Product-naar-som-identiteiten

WvR
3-1-2018

Periode somfunctie

Hallo,
ik vroeg me af hoe je de periode van een somfunctie kan berekenen?
f(t) = cos(2t) + 4 sin(3t)
Periode is (2$\pi$/b), maar hoe doe ik dat nu bij deze 'somfunctie'?
Alvast bedankt,
Julie
Julie
3-1-2018

Antwoord

De periode is een geheel veelvoud van beide individuale periodes, van $\pi$ en $\frac23\pi$ dus. Wat is het kleinste gemene veelvoud van die twee?
kphart
3-1-2018

Re: Goniometrische formules

Dit was de vraag op het examen, maar vermoed zelf dat deze fout was aangezien ik steeds met 5° vast zit...
Ruud
3-1-2018

Antwoord

Ik kom ook uit op iets met $5^\circ$ en dat is problematisch want een hoek van vijf graden is niet met passer en liniaal te construeren.

In onderstaande link lees je waarom een hoek van $20^\circ$ niet te construeren is en omdat hoek-verdubbelen wel met passer en liniaal kan is een hoek van $5^\circ$ ook niet construeerbaar.

Dat betekent dat voor $\sin5^\circ$ en $\cos5^\circ$ geen `mooie' formules met vierkantwortels en zo bestaan. Wat diepere algebra laat zien dat het met andere wortels en alleen reële getallen ook niet lukt (je moet complexe gebruiken).

Bijvoorbeeld voor $\cos5^\circ$: als je de methode van de link hieronder volgt zie dat die waarde een oplossing moet zijn van de volgende vergelijking:
$$
4X^3-3X=\sqrt{\frac12+\frac14\sqrt3}
$$
De formule van Cardano geeft een uitkomst die reëel is maar die niet (algebraisch) vereenvoudigd kan worden.

Misschien is er een slimme truc die in dit speciale geval die $5^\circ$ weg kan werken maar ik zie hem niet. Is er een modeluitwerking?
Zie Pythagoras: Passer en liniaal

kphart
3-1-2018

Tan en arctan

Ik zoek x bij tan(x) = -1,5. Als ik de arctan van -1,5 ingeef, krijg ik -0.98279372 rad, maar het zou 2.1588 moeten zijn. Als ik de tan ingeef van dit laatste krijg ik inderdaad terug -1,5. Maar wat doe ik fout en waarom krijg ik steeds het foute antwoord -0.98279372 rad?
X
8-1-2018

Antwoord

Er zijn meerdere hoeken waarvoor tan(x)=-1$\frac{1}{2}$. Denk maar aan de grafiek van y=tan(x).

klik voor een vergroting

De periode is $\pi$, dus die -0,982... plus $\pi$ zal dan wel ongeveer 2,15... zijn...

Het is gebruikelijk om de hoeken te vermelden met de kleinste positieve waarde met vermelding van de periode. Er is dus niet één oplossing maar er zijn oneindig veel oplossingen. De rekenmachine geeft er maar één...

Hopelijk helpt dat.
WvR
8-1-2018

Re: Tan en arctan

Dank je wel. Helaas is de -0,982... + $\pi$ = 4.124... en geen 2.15... ? Het brengt me dus helaas niet veel verder, sorry.
X
8-1-2018

Antwoord

Dat is gek...

...of ben je dat minteken vergeten?
WvR
8-1-2018

Bgsin

Ik heb een bgsin(0,806) = 0,937 maar ik weet niet hoe je dit berekend. Hoe kom ik aan 0,937? Geen theoretische antwoorden maar gewoon een formule.
Mike
17-1-2018

Antwoord

Wat dacht je van een (grafische) rekenmachine!? Mijn CASIO geeft:

Maar dan wel even op radialen zetten dan...
WvR
17-1-2018

Nulpunten zoeken

Beste

We moesten de nulpunten van deze poolkromme zoeken: 2cosx(6cos²x-5).

Nu vond ik x = $\pi$/2 + k$\pi$ voor de ene factor en x = Bgcos((√30)/6) + k2$\pi$ (we stellen dit even gelijk aan A), wat correct zou moeten zijn.

Dit snap ik volledig maar volgens de prof zijn enkele nulpunten van de tweede factor ook $\pi$-A en A-$\pi$. Hoe komt hij hieraan? Is er iets verkeerd met mijn k2$\pi$?

Alvast bedankt!
Emily
22-1-2018

Antwoord

Ik denk dat de tweede uitdrukking zelfs $4$ 'verschillende' antwoorden (modulo 2$\pi$) oplevert:

$
\eqalign{
& 6\cos ^2 \left( x \right) - 5 = 0 \cr
& \cos ^2 \left( x \right) = \frac{5}
{6} \cr
& \cos (x) = - \sqrt {\frac{5}
{6}} \vee \cos (x) = \sqrt {\frac{5}
{6}} \cr
& x = Bg\cos \left( { - \sqrt {\frac{5}
{6}} } \right) + k \cdot 2\pi \cr
& of \cr
& x = - Bg\cos \left( { - \sqrt {\frac{5}
{6}} } \right) + k \cdot 2\pi \cr
& of \cr
& x = Bg\cos \left( {\sqrt {\frac{5}
{6}} } \right) + k \cdot 2\pi \cr
& of \cr
& x = - Bg\cos \left( {\sqrt {\frac{5}
{6}} } \right) + k \cdot 2\pi \cr}
$

Helpt dat?
WvR
22-1-2018

Omzetten radialen en graden in rekenapparaat?

Ik heb een Casio FX-180P Plus rekenapparaat en ik vind nergens de werkwijze om hiermee hoeken om te zetten van graden, min en sec naar radialen en omgekeerd. Wie kan helpen?
Dank!
Anneke
31-1-2018

Antwoord

Eh... Is dat nodig? Op omrekenen van graden naar radialen en andersom staat uitgelegd hoe eenvoudig het eigenlijk is. Eerlijk gezegd (maar ik weet dat niet helemaal zeker) denk ik dat zo'n functionaliteit niet op zo'n rekenmachine zit. Ik heb 't in ieder geval niet nodig...

180° komt overeen met $\pi$ radialen.
Voor het omrekenen kan je het volgende schema gebruiken:
hoek in graden $\to$ deel door 180 vermenigvuldig met $\pi$ $\to$ hoek in radialen
hoek in radialen $\to$ deel door $\pi$ vermenigvuldig met 180 $\to$ hoek in graden

WvR
31-1-2018

Goniometrische vergelijkingen

Hallo,

Ik zat een beetje vast met de volgende vraag:

Los sin²(2x)=1/2 op. Dit is wat ik gedaan had:

sin(2x)= +/- sqrt(2)/2

1) sin(2x)= sqrt(2)/2
2x= (Pi/4)+2kPi OF 2x= 3Pi/4 - 2kPi
x= (Pi/8)+kPi OF x= 3Pi/8 - kPi

2) sin(2x)= -sqrt(2)/2
2x= (-Pi/4)+2kPi OF 2x= 5Pi/4 - 2kPi
x= (-Pi/8)+kPi OF x= 5Pi/8 - kPi

Ik moet enkel uitkomen op x= (Pi/8)+kPi/4, maar ik weet niet goed wat ik fout doe en hoe ik hierop moet komen.

Alvast bedankt!
Jan
24-2-2018

Antwoord

Beste Jan,

Je oplossing is prima; de modeloplossing is enkel een compactere (en elegantere?) manier om de oplossingen te noteren.

Merk op dat $-\tfrac{\pi}{8}$, $\tfrac{\pi}{8}$, $\tfrac{3\pi}{8}$ en $\tfrac{5\pi}{8}$ telkens precies $\tfrac{2\pi}{8}=\tfrac{\pi}{4}$ uit elkaar liggen en $\tfrac{\pi}{4}$ voorbij $\tfrac{5\pi}{8}$ zit je weer bij $-\tfrac{\pi}{8}$, maar dan $2\pi$ verder.

Ga dus na dat de oplossingen die vervat zitten in:
$$x=\tfrac{\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=\tfrac{3\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=-\tfrac{\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=\tfrac{5\pi}{8}+k\pi \quad \left( k \in \mathbb{Z}\right)$$precies dezelfde zijn als de oplossingen gegeven door:
$$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} \quad \left( k \in \mathbb{Z}\right)$$mvg,
Tom
td
24-2-2018

Re: Goniometrische vergelijkingen

Bedankt voor het antwoord! Dus in principe zou je alle oplossingen ook kunnen geven als x= (-Pi/8)+kPi/4 bijvoorbeeld, dus niet per se Pi/8+..?
Jan
25-2-2018

Antwoord

Beste Jan,

Inderdaad: je doorloopt alle oplossingen door alle gehele veelvouden van $\tfrac{\pi}{4}$ op te tellen bij één willekeurig gekozen oplossing.

Vergelijk het met het eenvoudigere $\sin(x) = 0$; je kan dat opsplitsen in $x=0$ en $x=\pi$ en bij beide alle veelvouden van $2\pi$ optellen, of je neemt één oplossing (naar keuze!) en telt daar veelvouden van $\pi$ bij op.

Bekijk het eens op een goniometrische cirkel en overtuig jezelf ervan dat je zo geen oplossingen verliest, maar er ook geen (onechte) 'toevoegt'.

mvg,
Tom
td
25-2-2018

Sinusoide

Betreft $y=\sin(x)$. Bij $y=\sin(bx)$ wordt de periode $2\pi$/b
Gaarne uitleg !
Jaap
Jaap v
27-3-2018

Antwoord

Beste Jaap,

De periode van $\sin(x)$ is $2\pi$. Dat betekent dat deze functie één periode doorloopt wanneer x 'loopt' van $x=0$ tot $x=2\pi$.

Op dezelfde wijze vind je de periode van $\sin(bx)$: er wordt één periode doorlopen wanneer het argument $bx$ 'loopt' van $bx=0$ tot $bx=2\pi$, dus van $x=0$ tot $x=2\pi/b$.
GHvD
27-3-2018

klein | normaal | groot