WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Functies en grafieken

Schuine asymptoot

Hoi,

Ik heb een vraagje over een oefening die we kregen in verband met asymptoten en het vinden van een functie voorschrift.

Gegeven is de functie f(x)=(ax²-4x+3)/(bx²-2x+c)
Daarnaast hebben we de schuine asymptoot gekregen: y=2x+1
Gevraagd zijn a, b en c.

Nu is mijn vraag hoe ik hieraan beginnen kan, want ik zit al vast bij de schuine asymptoot, omdat ik dacht dat bij deze functie enkel een horizontale asymptoot bestaan kan (de graad van de noemer is gelijk aan de graad van de teller= horizontale asymptoot?)

Alvast bedankt,
Elizabeth
Elizab
4-1-2018

Antwoord

Je kunt de graad van de teller groter krijgen dan die van de noemer door $b=0$ te nemen, en $a$ ongelijk aan $0$ natuurlijk.
kphart
4-1-2018

Re: Niveaulijnen

En hoe zit het dan met dit gelijkaardig probleem?

Zij f:R$\to$ R een functie. Met f wordt op één of andere manier een functie g: R² $\to$ R: (x,y) $\to$ g(x,y) gemaakt. De niveaulijnen van g zijn in de opgave getekend voor -1,0,1,2,3 en 4. Welk van de onderstaande voorschriften is compatibel met de niveaulijnen?

a) g(x,y)= x-f(y)
b) g(x,y)= f(x) + y
c) g(x,y) = f(x-y)
d) g(x,y) = f(x+y)

Ik kan geen afbeelding invoegen maar de niveaulijnen lopen van links naar rechts als licht gebogen verticale krommen.

Hoe kan je aan de hand van de niveaulijnen het antwoord afleiden? Alvast bedankt
Lisa
5-1-2018

Antwoord

Het zou makkelijker zijn als je het voorschrift van $f$ had meegegeven maar
bij a verwacht ik de grafiek van $f$ te zien, maar dan gespiegeld in de lijn $y=x$ en dat naar links/rechts opgeschoven
bij b verwacht ik de grafiek van $-f$ te zien (een niveaulijn wordt gegeven door $y=c-f(x)$) en omhoog/omlaag geschoven
bij c verwacht ik lijnen met vergelijking $x=y+a$
bij d verwacht ik lijnen met vergelijking $x+y=a$
Zo te lezen is de keuze uit a of b, maar zonder plaatje en weten wat $f$ is weet in niet zeker welke het is.
kphart
5-1-2018

Re: Re: Niveaulijnen

Beste,

Ik heb mijn plaatje opgestuurd per email naar wisfaq. Dit zal de vraag al duidelijker maken.

Lisa
5-1-2018

Antwoord

Lees het antwoord nog een keer en kijk naar het plaatje.

Het juiste antwoord is a
kphart
5-1-2018

Som- en verschilgrafieken

Ik had een vraag over de som en verschilgrafieken, ik heb overmorgen een toets en ik snap er niks van. Kan iemand mij helpen pleaseeeee?

SRD
10-1-2018

Antwoord

Op Math4all - Som/verschilgrafiek kan je theorie vinden en oefenen...

Als je daarna nog vragen hebt dan horen we 't wel...
WvR
10-1-2018

Wat betekent f(x)=y

Heel domme vraag maar wat betekent f(x)=y?
ef
13-1-2018

Antwoord

$f(x)$ en $y$ zijn twee manieren om de functiewaarde weer te geven. Met $f(x)=y$ geef je aan dat ze gelijk zijn.

Zie ook lineaire functies
WvR
13-1-2018

Globale extrema voor f(x,y)

Beste,

Ik heb een vraag over globale extrema bij functies met meerdere variabelen (in dit gevel 2; x en y). Voor de functie f(x,y) = x³ -12xy +8y³ heb ik de lokale extrema berekend en de eventuele zadelpunten en ik kwam uit op een lokaal minimum en een zadelpunt; resp. (2,1) en (0,0).

Vervolgens werd mij de vraag gesteld of dat de gevonden extrema globaal zijn of niet en dat ik het zo goed mogelijk argumenteer, dit vond ik lastig. Er zijn geen beperkingen voor x en y dus het domein is R². Kunt u mij alstublieft verder helpen?

Met vriendelijke groeten!
Joy
14-1-2018

Antwoord

Globaal betekent, in dit geval, dat $f(2,1)\le f(x,y)$ voor alle $x$ en $y$. Er geldt $f(2,1)=-8$ en als je ook maar één punt $(x,y)$ kunt vinden met $f(x,y) $<$ -8$ dan weet je dat $f(2,1)$ niet een globaal minimum is.
Kijk nog eens goed naar de functie: zo'n punt $(x,y)$ is niet moeilijk te vinden (er zijn er een heleboel).
kphart
14-1-2018

Continue functies: oneindig veel oplossingen

De vraag luidt:

'Veronderstel dat g: $\mathbf{R}$² $\to$ $\mathbf{R}$ een continue functie is die voldoet aan g(0,0)= -1 en g(x,y)=1 voor alle x,y een element van de $\mathbf{R}$² met x² + y² =1. Argumenteer dat de vergelijking g(x,y)=0 oneindig veel oplossingen heeft.'

Ik heb dit al:

Stel (x,y) = (sin $\Phi$, cos $\Phi$). Dankzij deze substitutie weten we zeker dat voor alle $\Phi$ element van de $\mathbf{R}$ voldaan is aan de tweede vergelijking van het stelsel. Er rest dus ons nog te bewijzen dat g(sin $\Phi$, cos $\Phi$) oneindig veel oplossingen heeft. We definiëren de functie h: (0,2$\pi$) $\to$ $\mathbf{R}$ : $\Phi$ |$\to$ g(sin $\Phi$, cos $\Phi$). We weten dat de functie h continu is aangezien ze bestaat uit g die eveneens continu is (want de component functies zijn continu in de gegeven interval).

Ik weet niet hoe ik verder moet en ook hoe moet ik g(0,0)= -1 incorporeren in mijn argumentatie? We moeten denk ik sowieso de tussenwaardestelling gebruiken, maar hoe geraak ik tot hier?

Met vriendelijke groeten
Joy
15-1-2018

Antwoord

Je functie $h$ is constant: voor elke $\phi$ geldt $h(\phi)=1$. Dat zal dus niet veel helpen.
Hier is een andere suggestie: neem een vaste $\phi$ en definieer $h_\phi:[0,1]\to\mathbb{R}$ door $h_\phi(t)=g(t\cos\phi,t\sin\phi)$. Dan geldt $h_\phi(0)=-1$ en $h_\phi(1)=1$. Nu kun je de tussenwaardestelling toepassen.
kphart
15-1-2018

Re: Continue functies: oneindig veel oplossingen

Oké danku, moet het dan zo verder? Aangezien h(0) = -1 en h(1) = 1 zal er dus tussen 0 en 1 oneindig veel "t's" liggen waarvoor geldt dat h(t) = 0 en het stelsel zal dus oneindig veel oplossingen hebben.

Alvast bedankt!
Joy
15-1-2018

Antwoord

Niet helemaal. Maar bij $\phi$ vind je een $t$ en dus een punt $(x,y)$ op de lijn tussen $(0,0)$ en $\cos\phi,\sin\phi)$ met $g(x,y)=0$.
Dit werkt voor elke $\phi$ en dat geeft net zo veel punten als $\phi$s (en dus oneindig veel).
kphart
15-1-2018

Routes lopen in een assenstelsel

Opgave 15
Neem een stuk roosterpapier en teken daarop een assenstelsel. Je gaat in dit assenstelsel routes lopen en moet bedenken waar je na tien stappen bent gekomen. Elke stap wordt beschreven door de uitdrukking 'horizontaal en verticaal' . Met 'horizontaal' wordt evenwijdig aan de x -as bedoeld en met 'verticaal' evenwijdig aan de y -as. Je begint steeds in (0,0) .

a
In welk punt ben je aangekomen als je tien keer de stap ' 2 horizontaal en -1 verticaal' hebt gezet?

b
Je zet eerst de stap ' 2 horizontaal en -1 verticaal' en dan de stap ' -1 horizontaal en -2 verticaal' . Doe dit in totaal vijf keer. In welk punt ben je dan?

c
Je begint met de stap ' 1 horizontaal en 1 verticaal' . Elke volgende stap ga je horizontaal één eenheid meer en verticaal één eenheid minder. Waar ben je na tien stappen in totaal?

Ik snap b en c niet zie bijlage vooral c begrijp ik niet gewoon hoe kan dat het 55 en -35 wordt...

b) is 5 en -15
Romeo
19-1-2018

Antwoord

Je kunt `horizontaal' en `verticaal' onafhankelijk van elkaar doen/berekenen:

Bij b bijvoorbeeld doe je (2H plus -1H) en dat is in totaal 1H; dat doe je vijf keer dus heb je 5H gedaan. Verticaal doe je (-1V plus -2V) en dat is -3V; weer vijf keer: -15V. Alles bij elkaar heb je dan 5H en -15V gedaan.

Bij c doe je dit ook, maar je moet even goed opletten hoe de stappen werken.
Eerst horizontaal: we beginnen met 1H, dan 2H (eentje meer), dan 3H, dan 4H, ..., en aan het eind 10H. Nu optellen: (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)H en dat is 55H bij elkaar. Voor verticaal gaat het net zo maar met `eentje minder': 1V, dan 0V, dan -1V, dan -2V, -3V, -4V, -5V, -6V, -7V, -8V. Weer bij elkaar nemen: (1+0-1-2-3-4-5-6-7-8)V (reken maar na: dat is -35V).
kphart
19-1-2018

Hoe weet je welke formule je moet gebruiken?

Hoe weet je of je:

Stel y = a(x-p)² + q bij (p,q)

OF

Stel y = a(x-d)(x-e) bij (d,0) en (e,0)

moet gebruiken?

Hoe kan ik dat aan een vergelijking zien... Hoe weet ik welke formule ik moet toepassen?
3vwo-e
20-1-2018

Antwoord

Beste 3vwo-er,

Je mag altijd kiezen welke formule je gebruikt: beide formules stellen dezelfde algemene kwadratische formule voor. Werk maar eens de haakjes weg bij de volgende twee formules, je zult zien dat je twee keer hetzelfde resultaat krijgt:

y=2(x-3)²-8
y=2(x-1)(x-5)

Maar het kan wel handig zijn om de ene formule te gebruiken of juist de andere.

De eerste formule y=a(x-p)²+q is vooral handig wanneer je gegevens hebt over de top van de grafiek, of om een andere reden veel met deze top wilt werken. Immers, p en q zijn de coördinaten van de top van de grafiek.
De formule y=a(x-d)(x-e) is juist handig wanneer je de snijpunten van de grafiek met de x-as kent (de nulpunten) of veel met deze punten wilt werken. Want: d en e zijn de x-coördinaten van deze snijpunten.

Ik geef twee voorbeelden:
Welke formule hoort bij de onderstaande grafiek? De top ligt op (3, -4) en de grafiek gaat door (5, 12).

Je weet niets over snijpunten met de x-as, je kent wel de top. We gebruiken dus:

y = a(x-p)² + q

Coördinaten top invullen:
y = a(x-3)² - 4

Om a te vinden, vullen we één bekend punt in. Hier is dit x=5, y=12:

12 = a(5-3)² - 4
a·2² - 4 = 12
4a = 16
a = 4

Dus de gevraagde formule is:
y = 4(x-3)² - 4

Voorbeeld 2:
Welke formule hoort bij de onderstaande grafiek? De grafiek gaat door (2, 0), (4, 0) en (5, 12).

Nu weten we niets over de top, we kennen wel de snijpunten met de x-as. We gebruiken dus:

y = a(x-d)(x-e)

Coördinaten nulpunten invullen:
y = a(x-2)(x-4)

Om a te vinden, vullen we één bekend punt in. Hier is dit x=5, y=12:

12 = a(5-2)(5-4)
12 = a·3·1
3a = 12
a = 4

Dus de gevraagde formule is:
y = 4(x-2)(x-4)

Het is je misschien opgevallen dat de twee grafieken hetzelfde zijn. Alleen hebben we andere gegevens over de grafiek, daarom hebben we verschillende formules gekozen. Maar als de grafieken hetzelfde zijn, dan moeten de gevonden formules ook hetzelfde zijn. Werk de haakjes maar eens weg, dan zal je zien dat dit inderdaad het geval is!

Zie ook Hoe kun je de formule van een parabool vinden?
GHvD
21-1-2018

Re: Hoe weet je welke formule je moet gebruiken?

Bedankt voor uw antwoord!

Nu vraag ik me eigenlijk ook af waar ' f(x) = ax² + bx + c ' goed voor is?

Ik vind het erg moeilijk om al deze formules toe te passen, maar ik weet wel hoe de formules zelf werken. Zijn er makkelijke dingen waaraan ik dat in een oogopslag kan zien? Welke formule ik moet gebruiken als ze bijvoorbeeld vragen dit is de top en wat is de formule van de grafiek?
3vwo-e
21-1-2018

Antwoord

Hallo vwo-er,

De haakjes in de formules van het vorige antwoord kunnen ook erg onhandig zijn, bijvoorbeeld wanneer je twee formules bij elkaar moet optellen:

(x-1)(x-7)+2x+1

Lastig! Maar als we de haakjes wegwerken, dan krijgen we:

x²-8x+7 + 2x+1

en dat is:

x²-6x+8

Je ziet: wanneer je formules bij elkaar wilt optellen of aftrekken, dan is de vorm ax²+bx+c weer handig.

Er zijn geen vaste regels die aangeven wanneer je de ene vorm 'moet' gebruiken of juist een andere vorm. Je krijgt vanzelf handigheid wanneer je de oefenopgaven maakt.
Je leert ook hoe je van de ene vorm naar de andere kunt komen. Haakjes wegwerken heb je vast al geleerd. De andere kant op kan ook:

Van x²-6x+8 naar (x-2)(x-4) heb je misschien al geleerd, dit heet ontbinden in factoren met de product-som-methode.

Van x²-6x+8 naar (x-3)²-1 heb je misschien ook al geleerd, anders komt dit nog. Dit noemen we kwadraat afsplitsen.

Uiteindelijk kan je dus van elke vorm naar elke andere vorm, net hoe het jou het beste uitkomt!
GHvD
21-1-2018

klein | normaal | groot