WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Formules

Formule voor het oppervlak van een n-dimensionale bol

Dit is mijn vraag: Wat is de formule voor het oppervlak van een n-dimensionale bol. Waarin je de straal en dimensie invult.

Dit is wat ik over het onderwerp denk:
De omtrek van een cirkel is: '2r$\pi$'.
Dat komt doordat $\pi$ de verhouding is tussen de diameter en straal.
Het oppervlak van een bol is: '4r²$\pi$' Ik snap deze formule niet helemaal. Is het niet eigenlijk '(2r)²$\pi$'? Omdat het oppervlak (omtrek) van een zijde al 2r$\pi$ is.
Zou je in mijn gedachten '2r$\pi$·2r$\pi$' doen. $\pi$ blijkt niet in het kwadraat te zijn in de werkelijkheid.
Het oppervlak van een 4d bol is dan: '8r³$\pi$'
Klopt dit? Ik heb dit geëxtrapoleerd uit de formules van 2d en 3d.

Peter
26-1-2018

Antwoord

Het korte antwoord: nee.

Hieronder een link naar de formules voor `inhoud' en `oppervlakte' van bollen in alle dimensies.

Even opletten: de `$n$-sphere' is de buitenkant van de $n+1$-bol. Dus voor de oppervlakte van de $4d$-bol moet je formule $S_3(R)$ hebben, en die geeft $2\pi^2R^3$.
Zie Volume en oppervlakte van bollen

kphart
26-1-2018

Deling van een polynoom

Als we 5x⁴-8x²-15x-6 delen door x-2, hoeveel bedraagt dan de rest na deling?

Kunt u mij hiermee helpen?

Hartelijke groet
anit
26-1-2018

Antwoord

Je hebt misschien een algemene stelling geleerd die zegt dat als je een polynoom $p(x)$ door $x-a$ deelt de rest gelijk is aan $p(a)$.
Hier kun je dus $x=2$ invullen om het resultaat te krijgen.
kphart
26-1-2018

Eigenschappen sommatieteken

Hallo,
In een voorbeeldtoets ben ik een meerkeuzevraag tegengekomen die ik helemaal niet snap. Er wordt namelijk gevraagd aan wat het volgende gelijk is: het sommatieteken met k=2 en n=2015 van (k/(k+1)) MIN het sommatieteken met k=2 en n=2015 van (k-1)/k.
Het antwoord is: 2015/2016-1/2
Mvg

Anon
30-1-2018

Antwoord

Je kunt de reeksen een stukje uitschrijven:

$
\eqalign{
& A:\frac{2}
{3} + \frac{3}
{4} + \frac{4}
{5} + ... + \frac{n}
{{n + 1}} \cr
& B:\frac{1}
{2} + \frac{2}
{3} + \frac{3}
{4} + ... + \frac{{n - 1}}
{n} \cr}
$

Als je nu $B$ van $A$ aftrekt valt bijna alles tegen elkaar weg, behalve de laatste term van $A$ en de eerste term van $B$.

Je weet $n=2015$ en dan ben je er wel. Helpt dat?

Naschrift

WvR
30-1-2018

Deling van veeltermen

Ik snap deze oefening niet:
Bepaal p zodat de deling (x²-4px+2p²):(x-2) een rest gelijk aan p heeft.
Zou u me wat meer uitleg willen geven?
loca
26-2-2018

Antwoord

Beste Loca,

Ken je de reststelling voor veeltermen? Wanneer je een veelterm $p(x)$ deelt door een eerstegraadsveelterm van de vorm $x-a$, dan is de rest gelijk aan $p(a)$, dus precies de getalwaarde van de veelterm in $a$.

Toegepast op jouw vraagstuk: als je de veelterm $x^2-4px+2p^2$ deelt door $x-2$ (dus $a=2$ in de stelling van hierboven), dan is de rest precies de getalwaarde van die veelterm in $x=2$, dus:
$$2^2-4p\cdot 2+2p^2 = \ldots$$Om te weten wanneer dit gelijk is aan $p$, stel je het gelijk aan $p$ en los op; dat geeft een kwadratische veeltermvergelijking (in $p$).

Kan je zo verder?

mvg,
Tom
td
26-2-2018

Deling van veeltermen

Ik snap deze vraag niet, zou u wat uitleg er bij willen geven?
Toon aan dat de veelterm D(x)=3x³-8x²-x+10 deelbaar is door x²-x-2 zonder de deling uit te voeren.
Alvast bedankt!
loca
26-2-2018

Antwoord

Hallo loca,

We weten dat $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$, dus dat $x=-1$ en $x=2$ nulpunten zijn. Als dit ook nulpunten zijn van $D(x)$, en beseffende dat $D(x)$ van hogere graad is (graad 3), dan is inderdaad $D(x)$ deelbaar door $x^2-x-2$. Dat weten we dan zonder de deling uit te voeren.

Met vriendelijke groet,
FvL
26-2-2018

Deling van veeltermen

Een veelterm D(x) heeft bij de deling door x-1 rest 3 en bij deling door x+1 rest -1. Bepaal de rest van de deling van D(x) door x²-1. Zou u me wat info kunnen geven aub?
loca
26-2-2018

Antwoord

Deling met rest geeft $D(x)=E(x)(x^2-1)+ax+b$.
Nu kun je $D(1)$ en $D(-1)$ uitdrukken in $a$ en $b$.
Ook volgt uit je gegevens dat $D(1)=3$ en $D(-1)=-1$.
kphart
26-2-2018

Rekenregels voor machten

Beste,

Ik heb een probleem met volgende opgave:

-x·(-x²)·(-x)³·(-x)⁴=-x¹⁰

Zelf kom ik een positief getal x¹⁰ uit terwijl de som negatief moet uitkomen.

Ik weet dat bijvoorbeeld (2²)³ = 2⁶ en dat - - = + , + + = + en - + = - en + - = -. Daarom dat ik een positief getal uitkom terwijl dat hier fout is.

Maar wat is exact hier het verschil tussen een macht binnen de haken en een macht buiten de haken? en wat doe ik precies fout?

Alvast bedankt voor uw hulp
Vriendelijke groet
Rekenregels voor machten

Evelin
8-3-2018

Antwoord

Ik zal 't stap voor stap uitwerken. Misschien kan je dan zien waar je de bocht uit vloog...

$
\eqalign{
& - x \cdot \left( { - x^2 } \right) \cdot ( - x)^3 \cdot \left( { - x} \right)^4 = \cr
& - x \cdot - x^2 \cdot - x^3 \cdot x^4 = \cr
& x^1 \cdot x^2 \cdot - x^3 \cdot x^4 = \cr
& - x^{10} \cr}
$

Weet je 't al? Volgens mij gaf je zelf het antwoord al, maar anders heb ik nog wel een idee...
WvR
8-3-2018

Vereenvoudigen breuk met dubbel kwadraat

Mij is verzocht om het volgende breuk te vereenvoudigen:

(a²-b²) / (a + b)

Het is mij onduidelijk hoe ik dit aan moet pakken met 2 merkwaardige producten...
r.
8-3-2018

Antwoord

Eén van die merkwaardige producten is genoeg!

$
\eqalign{
& a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \cr
& {\text{geeft:}} \cr
& \frac{{a^2 - b^2 }}
{{a + b}} = \frac{{(a + b)(a - b)}}
{{a + b}} = a - b \cr}
$

Meer moet het niet zijn...

Wat zijn merkwaardige producten?

WvR
8-3-2018

Omschrijven, herkennen en toepassen van lineaire formules

L.S.

Al een tijdje ben ik opzoek naar iemand die mij kan helpen met een aantal functievormen van lijnen. Ik haal deze vormen al snel door elkaar en heb geen/nauwelijks overzicht welke vorm nou welke eigenschappen heeft.

Aan mijn leraren op school heb ik vrij weinig, door hun uitleg wordt alles veel onduidelijker of ik krijg het antwoord: 'Dit is basiskennis/standaardbagage, uit 4vwo.' Wat ook niet echt een uitleg/antwoord is op mijn vraag.

In de syllabus van 2018 staan een aantal formules, maar dit is echter los van elkaar vermeld. Dit geeft ook niet weer wat ik nou wanneer moet toepassen.

Daarnaast ben ik druk bezig geweest met research online, hier kwam ook niet veel soeps uit. Weer alle formules apart. Waaronder een antwoord op een vraag op uw site, dus hoop ik dat u mij verder zou kunnen helpen.

Waar ik dus vooral moeite mee heb is het omschrijven, herkennen en toepassen van de volgende functievormen:
$y = ax + b$
$y=a(x-p)+q$
$ax + by = c$
$\eqalign{\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1}$
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
p \\
q \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
\end{array}} \right)
$
Twee vragen:
Kun je van deze functies snijpunten (met x- of y-as), toppen of andere eigenschappen?
Hoe kan ik de functies omschrijven? Met name functie 1 naar 4 en van functie 3 naar 4 (en beide andersom).
Ik vermoed dat de oplossing simpel zal zijn, toch kijk ik uit naar uw antwoord!

Met vriendelijke groet,
Sanne de Boer
6 vwo
Sanne
12-3-2018

Antwoord

Ik heb op Formules voor rechte lijnen een overzicht gemaakt van de 5 manieren om formules te maken voor rechte lijnen.
Helpt dat?
Zie Formules voor rechte lijnen [PDF]

WvR
13-3-2018

Formule opstellen

Gegeven is de functie:

$f(x) = (5-2x)e^x$

Er zijn twee lijnen door het punt (3,0) die de grafiek van f raken. Stel van elk van deze lijnen langs algebraïsche weg de formule op.
Kaylee
13-3-2018

Antwoord

Dag Kaylee,

Omdat je blijkbaar de spelregels van WisFaq (zie vooral punt 8) niet gelezen hebt, is mijn antwoord kort.
Niet IK moet de formule van de raaklijnen opstellen, maar JIJ.
Ik kan niet zien welk probleem je hebt bij het vinden van de oplossing (ben je er eigenlijk wel aan begonnen?)
...en daarom geef ik alleen enkele aanwijzingen.
de raaklijn y = ax + b moet gaan door (3, 0), dus b = ...
die raaklijn raakt in (p, q), dus je zal iets moeten doen met f(p) = q en met f'(p) = a
Oei, dat zijn dus 3 onbekenden... Kijk eens hoever je daar mee komt!
Zie Spelregels

dk
13-3-2018

Re: Formule opstellen

Ik weet niet zo goed waar ik moet beginnen. In de f(x) zie ik niet goed wat de a, x en b is. Moet ik beginnen met de afgeleide of is dit helemaal niet nodig?
Kaylee
13-3-2018

Antwoord

Dag Kaylee,

Dit keer een wat langer antwoord, dan het eerste.

Om te beginnen. Je weet toch dat de algemene vergelijking van een rechte lijn $y = ax + b$ is (of zo je wilt, $y = mx + n$ of $y = px + q$)?

Daarin is het getal $a$ de richtingscoëfficiënt (richtingsgetal).

Heb je $b$ al uitgerekend? Ik kom op $b = -3a$, en daarmee is de gezochte vergelijking van de raaklijn:
$y = ax - 3a$
Vul $x = 3$ in en je vindt $y = 0$, want de lijn gaat door (3, 0).
Jammer dat je $a$ niet weet!

En daarom moet je gebruik maken van de afgeleide $f\;'$ van $f$, omdat de afgeleide de 'leverancier' is van de richtingscoëfficiënten (richtingsgetallen) van raaklijnen aan de grafiek van $f$.

Helaas, je kent het raakpunt niet. Daarom nam ik daarvoor $(p, q)$.
Dan is:
$f\;'(p) = a$
Ik zag bij een ander WisFaq-antwoord dat je had gevonden:
$f\;'(x) = (3 - 2x){e^x}$

Dus:
(1)... $f\;'(p) = (3 - 2p){e^p} = a$
Maar er is nog wat. Dat punt $(p, q)$ moet op de grafiek van $f$ liggen. Dus geldt ook:
(2)... $f(p) = (5 - 2p){e^p} = q$
En dat punt ligt óók op de raaklijn! Dus geldt (vul $x = p$ in en je vindt $y = q$):
(3)... $q = ap - 3a$

En dan heb je drie vergelijkingen waarmee je de waarde van $a$ moet proberen te vinden. En ik vind dat je dat nu zelf moet proberen!

En toch nog maar een tip. Ik denk dat het het handigst is als je probeert een vierkantsvergelijking in $p$ te vinden (bereken op twee manieren via (1), (2) en via (3) de waarde van ${q \over a}$).

Als het lukt, vind je $p = 3{\textstyle{1 \over 2}}$ en $p = 2$. Met die $p$'s weet je via (1) de waarden van $a$. En dan (pas) heb je de gezochte vergelijkingen.
Succes!
dk
13-3-2018

klein | normaal | groot