De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Constante coefficienten

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking

dv2/dt + (3.c.y)/(2d) = 2.e

hierbij is c,d en e een bekende van densiteiten maar makkelijker om het hier zo te schrijven.

Toon dit aan door middel van de oplossingsmethode voor een lineaire differentiaalvergelijking met constante coŽfficiŽnten (met andere woorden algemene oplossing van de homogene vergelijking (=zonder tweede lid) plus particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met tweede lid.

In dit geval is de algemene oplossing een exponentieel dalende functie en de particuliere oplossing de constante uitdrukking voor

Het is nodig/nuttig aan te geven hoe snel die exponentieel dalende functie uitsterft.

kim
13-2-2018

Antwoord

Printen
De oorspronkelijke vergelijking was
q85691img1.gif
Ik zou die vergelijking eerst even vereenvoudigen tot
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+ay=b
$$
met $y=v^2$, en $a=3\rho_\nu c_w/(2d\rho_h)$ en $b=2(\rho_h-\rho_\nu)g/\rho_h$ dus. Dat is wat overzichtelijker.
De bijbehorende homogene vergelijking is $y'+ay=0$ en die heeft $y=C\mathrm{e}^{-at}$ als oplossing.
Een particuliere oplossing kun je bijna direct zien: $a$ en $b$ zijn constant, dus je kunt een constante functie proberen en, inderdaad, $y_p(t)=b/a$ is een oplossing.
De algemene oplossing is dus
$$
y(t)=\frac ba+ C\mathrm{e}^{-at}
$$
Nu kun je weer invullen wat $a$ en $b$ waren en kijken of je die kwalitatieve vragen kunt beantwoorden.

kphart
14-2-2018


Verband tussen een afgeleide en het getal e

Het college gaat over het modelleren van dynamische systemen waarbij als voorbeeld de ontwikkeling van de omvang van een populatie bacteriŽn wordt bekeken. Hierbij wordt gebruik gemaakt van ODE (Ordinary Differential Equations)

Titel video: Mathematical Biology. 01: Introduction to the Course



In de video tussen moment 3.42 en 7.58 wordt vanuit een afgeleide teruggewerkt naar een functie.

N is het aantal bacteriŽn op enig moment dN/dt betreft de groei en men neemt aan dat dat gebeurt volgens KN waarbij K een constante zou zijn.

N(t) betreft aantal bacteriŽn in de tijd.
voorbeeld : 1, 2, 4, etc. (wordt hier 2t bedoeld?)

Er gelden twee aannames:
  1. t is een reel getal
  2. N is een reel getal
dN/dt=k∑N (waarom?)

Vervolgens wordt aangegeven dat de onbekende bij een ODE een functies is dat deze functie N(t) er als volgt uit ziet:
N(t)=ekt (waarom?)

Alvast hartelijk dank!

Gerard
27-3-2018

Antwoord

Printen
Er geldt:

$\eqalign{\frac{dN}{dt}=k∑N}$

Dat wil zeggen dat de afgeleide evenredig is met het aantal bacteriŽn. Hoe groter $N$ hoe groter $N'$. Je moet je voorstellen dat $N'$ de afgeleide is van $N$ en dat $N$ een functie is van $t$. We zijn dus op zoek naar een functie $N$ waarvan de afgeleide $k∑N$ is. We zoeken een functie die, op een constante na, zijn eigen afgeleide is. Dat is $y=e^x$.

Neem $N(t)=e^{kt}$. De afgeleide is gelijk aan $N'(t)=k∑e^{kt}$. Dit is de oplossing! Er geldt: $N'(t)=k∑N(t)$. Mission accomplished!

Het gaat hier om het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De oplossing is een functie!

Bij de FAQ's kan je nog meer vinden, maar ik raad je aan een cursus te doen. In de gangbare methodes kan je die wel vinden!

WvR
28-3-2018


Waar vind ik een goede site daarover?

Waar vind ik een goede site die stap voor stap de differentiaalvergelijkingen uitlegt.

owardo
14-4-2018

Antwoord

Printen
Had je al bij de links gekeken? Daar staat http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html als suggestie... Misschen helpt dat?

WvR
14-4-2018


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb