De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Complexegetallen

De wortel van -81

Weet iemand het antwoord op de wortel van -81?

Anonie
2-1-2018

Antwoord

Printen
Die wordt meestal als $9i$ geschreven, waarbij $i$ een getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan $-1$. Zo'n getal is niet reŽel maar je kunt er heel goed mee werken en er zit heel mooie wiskunde achter: de wiskunde van de Complexe getallen.
Zie Complexe getallen

kphart
2-1-2018


Complexe getallen

Als f(z)=z2 is het reŽle deel u(x,y)=x2-y2 en het imaginaire deel v(x,y)=2xy dat begrijp ik maar als f(z)= (abs z)2 met abs is de absolute waarde van z dan is het reŽle deel van f u(x,y)=x2+y2 dat snap ik maar waarom is het imaginaire deel v(x,y)=0? Want als z = x+jy dan is (abs z) = (abs x+jy)2 = x2 +y2+2xyj waarom is v(x,y) dan niet gelijk aan 2xy?

Arne D
30-3-2018

Antwoord

Printen
Hallo Arne,

De absolute waarde van een complex getal is als volgt gedefinieerd:

q85992img1.gif

In het complexe vlak is dit de afstand van de oorsprong tot het betreffende punt, net zoals de absolute waarde van een reŽel getal de afstand is van 0 tot dit getal op de getallenlijn.

Uiteraard levert links en rechts kwadrateren:

q85992img2.gif
Zie Wikipedia: absolute value complex numbers

GHvD
30-3-2018


Vergelijkingen met complexe oplossingen

Voor een eindexamen wiskunde moet ik van de volgende vergelijking al de complexe oplossingen geven :

(Z3 - 1)(Z2 + Z - 7) = 0

De reŽle oplossing vond ik ondertussen, alleen weet ik niet hoe ik aan de oplossing in de vorm van Euler moet geraken... Ik heb enkel de oplossing gekregen van mijn docent.

Lore D
27-10-2018

Antwoord

Printen
De oplossingen van z3 = 1 liggen in het complexe vlak regelmatig verdeeld op een cirkel met straal 1 en hebben achtereenvolgend het argument 0į, 120į en 240į. De eerste hoort natuurlijk bij z = 1.

Vermoedelijk zul je in het antwoord radialen willen of moeten gebruiken, maar dat zal het probleem niet zijn.

De discriminant van z2 + z - 7 = 0 is 29 zodat er twee reŽle oplossingen zijn die je met de abc-formule direct kunt opschrijven.

MBL
27-10-2018


Re: Vergelijkingen met complexe oplossingen

Best

Heel hartelijk dank voor uw antwoord. Alleen begrijp ik nog niet goed hoe u aan die 0 120 en 240 graden komt. Hoogst waarschijnlijk heb een linkt nog niet volledig gelegd. Alvast bedankt!

Lore D
28-10-2018

Antwoord

Printen
Je hebt vermoedelijk al gezien dat het argument van een complex getal met 3 wordt vermenigvuldigd wanneer je de derde macht berekent. En 3 x 120į maar ook 3 x 240į leveren precies een veelvoud op van 360į waarmee je op de positieve x-as uitkomt waarop ook 1 ligt.

In je boek zal hoogst waarschijnlijk een uitleg zijn besteed aan het zoeken van de oplossingen van de vergelijking zn = 1, de zogenaamde eenheidswortels.
Laat even weten welke methode je kent of wilt gebruiken om jouw vergelijking op te lossen.
Ken je bijv. de formule van de Moivre al?

MBL
28-10-2018


Re: Re: Vergelijkingen met complexe oplossingen

In mijn cursus is voornamelijk uitleg besteet aan de worteltrekking uit een complex getal. De formule van Moivre is ook kort ter sprake gekomen bij het verheffen van een complex getal met een reŽel getal. Alvast bedankt!

Lore D
28-10-2018

Antwoord

Printen
Maar 1 is toch ook een complex getal? De modulus is 1 en het argument is 0.
Je kunt 1 dan schrijven als 1.e0i.
Door de gezochte oplossingen te schrijven als z = r.eia krijg je eerst
z3 = r3.e3ia en door dit te vergelijken met de schrijfwijze van het getal 1 leidt dit tot
r3 = 1 en 3a = 0 + k. 360 waarmee r = 1 en a = k.120
Bedenk dat r een reŽel getal moet zijn en dat je het argument a eventueel in radialen geeft.

MBL
28-10-2018


Formule voor worteltrekken uit complexe getallen

Hoi! Afgelopen dagen heb ik mezelf geÔntroduceerd in de wereld der complexe getallen. Ik heb hier een uurtje mijn hoofd over gebroken om een formule op te stellen om van de wortel van een complex getal het antwoord te vinden.

Stel:
√(a+bi)=c+di
a=c2-d2
b=2cd

Dan zou je na enkele stappen uit kunnen komen op deze twee formules, als ik goed gerekend heb:

c4-ac2-1/4b2=0
d4+ad2-1/4b2=0

Ik ben op deze formules gekomen door dit te doen:

b=2cd dus d=b/2c en c=b/2d

Dan heb ik of c, of d in de formule a+bi=(c+di)2 ingevuld, zodat er enkel a, b en c overbleven, of a, b en d. Twee bekenden (als je weet van welk complex getal je de wortel wilt berekenen) en een onbekende. Nu was mijn vraag of mijn beredenering klopt, en of deze formules gebruikt mogen worden om de wortel van een complex getal te berekenen.

Het spijt me als ik ooit een beetje onduidelijk was in mijn vraag, maar ik hoop dat je mij kan helpen!

Met vriendelijke groet

Dennis
12-11-2018

Antwoord

Printen
Wat je hier berekent, is in orde en langs deze weg kun je inderdaad de wortel trekken van een complex getal.

Bedenk wel dat je vergelijkingen van de vierde graad zijn en dat het vinden van de vier oplossingen nog best een klus kan zijn. Je moet dan overigens alleen de reŽle oplossingen hebben. Maar op zich is wat je voorstelde mogelijk.

Via een andere invalshoek, die je vermoedelijk nog niet gezien hebt, blijkt het allemaal wat sneller te kunnen.

MBL
12-11-2018


Re: Formule voor worteltrekken uit complexe getallen

Mijn vraag is dan of daar ook een formule voor bekend is. Als dat zo is, dan zoek ik nog verder, maar anders heb ik wat ik nodig had. Alvast bedankt!

Dennis
14-11-2018

Antwoord

Printen
De methode die je hebt beschreven, kun je in het geval van een tweedemachtswortel volgen.

Als je kennis hebt gemaakt met de poolvoorstelling van complexe getallen en met de stelling van de Moivre, dan gaat het wat sneller en bovendien kun je daarmee ook hogere machtswortels trekken.

MBL
14-11-2018


Toon aan

Hallo,ik zit hier vast.

Toon aan dat als z=x+yi een oplossing is van de vierkantsvergelijking az2+bz+c=0 met a is een element van R0;b,c is een element van R, dat ook z_= x-yi. Een oplossing voor de vierkantsvergelijking is.

Riffat
3-12-2018

Antwoord

Printen
Wat heb je zelf al geprobeerd? Waar loop je precies vast?

js2
3-12-2018


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb