De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Complexegetallen

Complexe veelterm met parameter

Gegeven: z3+2z2-6z+d=0 , d is element van R.
Gevraagd: bepaal alle nulpunten en d als je weet dat bij ťťn van de wortels het imaginaire deel gelijk is aan het tegengestelde van het reŽle deel.
mvg

clemen
2-1-2020

Antwoord

Printen
Lees nog even de spelregels (wat heb je zelf al geprobeerd?).
Eťn van de nulpunten ziet er uit als $a-a\mathrm{i}$ (met $a$ reŽel) en omdat de coŽfficiŽnten reŽel zijn is ook $a+a\mathrm{i}$ een nulpunt. Vul beide in, je vindt dan voorwaarden op $a$ en $d$ en daaruit kun je de gevraagde waarden bepalen.

kphart
2-1-2020


Ongelijkheden met een negatieve discriminant

Hallo,

Ik zit en vwo 3 en ben nu bezig met een hoofdstuk over ongelijkheden, eerder heb ik bij een hoofdstuk over functies al kunnen vinden hoe je de abc formule gebruikt met een negatieve discriminant. Nu we het in de klas hebben over ongelijkheden wil ik graag weten hoe ik een ongelijkheid met een negatieve discriminant oplos.

Ik heb op internet kunnen vinden dat er bij imaginaire getallen een heel ander assenstelsel hebt met een x-as met reŽle getallen en een y-as met imaginaire getallen, ook dit snap ik nog niet helemaal. Verder zie ik op internet ook nog voor mij onbekende tekens bijvoorbeeld de 'z' in 'z = a + b' en '|∑| ' als ik dan op internet dit teken opzoek krijg ik betekenissen als: ' kardinaliteit van de verzameling A' wat voor mij nog steeds niet duidelijk is.

Mijn uiteindelijke vragen zijn dan:
  • Hoe los ik een ongelijkheid op met een negatieve discriminant?
  • Wat moet ik mij voorstellen bij een assenstelsel van een functie/ongelijkheid met een negatieve discriminant?
  • Wat betekenen de tekens 'z' en |∑|?
Mvg

Trista
12-3-2020

Antwoord

Printen
Hallo Tristan,

Ik denk niet dat het de bedoeling is om met complexe getallen te rekenen. Verder neem ik aan dat je het hebt over kwadratische ongelijkheden. Een voorbeeld van zo'n kwadratische ongelijkheid is:

-2x2+3x-1$>$2

Je kunt herleiden op nul (links en rechts 2 aftrekken):

-2x2+3x-3$>$0

We krijgen een negatieve discriminant:

D=32-4∑-2∑-3
D=9-24
D=-15

Een negatieve discriminant geeft aan dat de grafiek van
y=-2x2+3x-3 geen snijpunten heeft met de x-as. Dan zijn er twee mogelijkheden:
  1. De grafiek ligt in zijn geheel boven de x-as: in dat geval geldt voor alle waarden van x dat -2x2+3x-3$>$0
    of:
  2. De grafiek ligt in zijn geheel onder de x-as: in dat geval geldt voor geen enkele waarde van x dat -2x2+3x-3$>$0
Hoe kom je er nu achter welk van deze twee mogelijkheden juist is? Bedenk dat alleen een dalparabool in zijn geheel boven de x-as kan liggen, alleen een bergparabool kan in zijn geheel onder de x-as liggen.

In dit geval is a$<$0. We hebben dus te maken met een bergparabool. Omdat er geen snijpunten met de x-as zijn (want D$<$0), ligt de gehele parabool onder de x-as. De ongelijkheid heeft geen oplossing.

GHvD
12-3-2020


Re: Ongelijkheden met een negatieve discriminant

Beste Gilbert,

Dank u wel voor uw snelle reactie, ik bedoelde toch wel echt complexe getallen.

Ik loop iets voor in mijn klas en vind het leuk om dingen uit te zoeken voor wiskunde, vandaar ook dat ik eerder heb uitgezocht hoe je een een kwadratische vergelijkingen met een negatieve discriminant oplost en ik nu ook graag zou willen weten hoe ik een kwadratische ongelijkheid met een negatieve discriminant oplost.

Mijn docent heeft mij omdat dit dus eigenlijk iets extraís is er ook niks over uitgelegd. Dus daarom ben ik nu hier, ik hoop dat er nog wel een antwoord is waar ik iets mee kan en anders is het ook niet erg omdat het toch iets extraís is.

Alvast bedankt voor uw hulp,

Groeten

Trista
12-3-2020

Antwoord

Printen
Op Wat is een complex getal? kan je een mooi inleiding vinden over complex getallen.

Wil je daarna nog meer weten dan kan je 's kijken naar COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D - Jan v.d. Craats. Dan kan je voorlopig wel vooruit...

Er zijn nog een aantal veelgestelde vragen te vinden bij de FAQ-vragen complexe getallen.

Als je concrete vragen hebt dan weet je waar je moet zijn...

WvR
13-3-2020


Re: Re: Ongelijkheden met een negatieve discriminant

Beste,

Ik heb op al deze websites gekeken maar niks kunnen vinden over mijn vraag: ďHoe los je een ongelijkheid met een negatieve discriminant op?Ē

Ik hoop dat er toch iemand is die mij hiermee kan helpen. Alvast dank voor uw hulp.

Groeten

Trista
13-3-2020

Antwoord

Printen
Je hebt het antwoord al gehad bij je eerste vraag.

Ongelijkheden oplossen gaat alleen voor reŽle getallen. Het punt is dat er geen goede ordening op de complexe getallen mogelijk is. Elk complex getal is kwadraat van een ander complex getal, dus dan zou elk getal $z$ ongelijk aan $0$ positief moeten zijn. Maar dan is elk getal $z$ ook negatief want $-z$ is positief. Het is dus onzinnig om over positief/negatief te spreken en dus ook over groter of kleiner dan.

Daarom beperken we ons bij het oplossen van ongelijkheden tot reŽle getallen.

kphart
13-3-2020


Het oplossen van de vergelijking voor het plastische getal

Beste

Ik heb al heel wat informatie gevonden over het plastische getal. Ik weet al dat het de reŽle oplossing is van de vergelijking $x^3=x-1$ en ik weet hoe dat je het berekent.

Ik weet ook dat er twee andere complexe oplossingen zijn. Maar hoe kan je die berekenen? Met mijn kennis van de complexe getallen kom ik er niet...

Alvast bedankt

Ala
27-3-2020

Antwoord

Printen
Je vergelijking klopt niet. Dat moet $x^3=x+1$ zijn. Voor het oplossen van vergelijking als $-x^3+ax^2+bx+c=0$ kan je het volgende algoritme gebruiken.

$
\eqalign{
& Gegeven: - x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \cr
& p: = \frac{2}
{3}\sqrt {a^2 + 3b} \cr
& q: = - \frac{{2a^3 + 9ab + 27c}}
{{2\sqrt {(a^2 + 3b)^3 } }} \cr
& x_1 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_2 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr
& x_3 : = p \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( q \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) + \frac{1}
{3}a \cr}
$

Het invullen van de juiste waarden geeft:

$
\eqalign{
& a = 0 \cr
& b = 1 \cr
& c = 1 \cr
& p = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr
& q = - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cr}
$

Je krijgt dan 3 oplossingen:

$
\eqalign{
& x_1 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) - \frac{1}
{2}\pi } \right) \cr
& x_2 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{1}
{6}\pi } \right) \cr
& x_3 : = 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 \cdot \cos \left( {\frac{1}
{3}\arcsin \left( { - 1\frac{1}
{2}\sqrt 3 } \right) + \frac{5}
{6}\pi } \right) \cr}
$

De oplossingen kan je uitschrijven als:

q89464img1.gif

Eťn reŽle en twee complexe oplossingen. Als je de oplossingen benadert dan zie je het plastische getal verschijnen bij de tweede oplossing.

q89464img2.gif

Je kunt ook 's kijken op x≥=x+1 voor een andere schrijfwijze die (hopen we dan maar) op hetzelde neerkomt.

Volgens mij zijn we er dan wel uit...

WvR
28-3-2020


Re: Het oplossen van de complexe vergelijkingen

Dank je wel! Maar hoe noemt deze methode?

Ala
28-3-2020

Antwoord

Printen
Misschien kan je 's kijken op Wikipedia | Characteristic Equation. Zoiets moet het zijn geweest...

WvR
28-3-2020


Re: Machtreeksen en convergentie straal

Hallo, mijn scriptie gaat over reeksen en ik vroeg me af of iemand kan uitleggen wat een convergentiegebied is. Gelieve tegen 14/05/2020 anders schud ik mijn eigen hand. Mvg Fred

Fred
13-5-2020

Antwoord

Printen
Een (willekeurige) reeks heeft geen convergentiegebied; hij convergeert, of niet.

Een machtreeks heeft wel een convergentiegebied. Zo'n reeks is van de vorm
$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n
$$waarbij $x$ een variabele is en $c$ een vast getal. Bij zo'n reeks hoort een getal $R$, de convergentiestraal, met de eigenschap dat de reeks absoluut convergeert als $|x-c| < R$ en divergeert als $|x-c| > R$. Als $|x-c|=R$ moet je de zaak in het algemeen nader onderzoeken.

De verzameling van $x$-en waarvoor de reeks convergeert is dan het convergentiegebied.
Zie Korte les over machtreeksen

kphart
14-5-2020


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb