De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Analytische meetkunde

Uitzwenking voertuig in boog

Een (trein)wagon is 30 cm lang, daarvan is 21,6 cm de koorde (stuk tussen de draaistelassen), en 4,2 cm het starre deel aan de kopse kanten (er zijn 2 kopse kanten). De overhang van de wagon aan de binnenzijde van de boog, begrijp ik. Dat is de pijl, uitgedrukt in koorde en radius.

Maar de uitzwenking niet: De kopse kanten van de wagonbak steken uit t.o.v. de snijpunten van de koorde.

De uitzwenking is het verlengde van de boogstraal (dus buiten de boog) tot aan het verlengde van de koorde.
  • Hoe druk ik de uitzwenking uit in radius, koorde en kopmaat?

jw
20-1-2018

Antwoord

Printen
Beste JW,

Eerst maar even een schets maken (niet op schaal):

q85577img1.gif

Het lijnstuk AC stelt een halve wagon voor, op een gebogen rail met radius r. Ik begrijp dat de lengte van de wagondelen buiten de draaistelassen de kopmaat wordt genoemd, deze is hier 4,2 cm (lijnstuk BC). De halve lengte tussen de draaistelassen is 10,8 cm (lijnstuk AB). Ik begrijp dat je de lengte van het lijnstukje u wilt weten (lijnstuk DC).

In driehoek MBC geldt volgens pythagoras:

d2+10,82=r2

dus:

d2 = r2-10,82

d2 = r2-116,64 (vergelijking 1)

In driehoek MCA geldt:

(r+u)2 = d2+152

(r+u)2 = d2+225 (vergelijking 2)

Vergelijking 1 vullen we in vergelijking 2 in:

(r+u)2 = r2-116,64+225
(r+u)2 = r2+108,36

Links en rechts wortel trekken:

r+u = √(r2+108,36)

Zodat:

u = √(r2+108,36) - r

Hierbij gaat het natuurlijk om de uitzwenking van de hartlijn van de wagon. Door de breedte van de wagon steekt deze verder uit.

OK zo?

GHvD
20-1-2018


Van een cartesiaanse vergelijking naar een parametervergelijking

Hoe moet ik van een cartesiaanse vergelijking naar een parametervergelijking gaan van een rechte in R3?
En dan van een parametervergelijking naar een vectorvergelijking?

Ik wil namelijk de richtingsvector van de rechte met stelsel: x+y=2 en y-4z=1

Als jullie OOK een andere manier kennen om de richtinngsvector te bepalen is deze methode ook handig om te wegens...

Ik heb namelijk morgennamdiddag een toets hierover en ik vind nergens een duidelijke uitleg...

Groetjes

Anon
30-1-2018

Antwoord

Printen
Dag Anon,
Ik deed het bijna altijd zo. En ik gebruik jouw stelsel.
Ik stelde één van de variabelen gelijk aan r (richting?). Ik nam dan de variabele die het meest voorkwam.
Dan krijg je, met y = r:
x = 2 - r
-4z = 1 - r OF z = -1/4 + 1/4r
En als je y = 4r genomen had, zou je krijgen:
x = 2 - 4r
y = 4r
z = -1/4 + r
Zie je nu de parametervergelijking ook?
Steunvector = (2, 0, -1/4); richtingsvector = (-4, 4, 1)
Succes!

PS. In het vervolg eerder beginnen (met vragen stellen)!

dk
31-1-2018


Vectoren en zwaartepunten

Hallo,

Ik heb een probleempje met de theorie over het zwaartepunt bepalen door middel van vectoren. De bedoeling bij dit plaatje (die ik als bijlage heb toegevoegd) is het verklaren dat de formule voor vector z = vector a + 3/7(vector b - vector a).

Ik snap ten eerste niet waarom het vector b - vector a is om vector z te krijgen, want vector a lijkt langer dan vector b dus dan komt iets negatiefs uit, het lijkt voor mijn gevoel eerder op vector a + vector b? En ten tweede waarom hebben ze 3/7 genomen en niet 4/7? Ik hoop dat iemand mij hierbij kan helpen. Alvast bedankt!

Mvg,
Anna

Anna
2-3-2018

Antwoord

Printen
Hallo Anna,

Waarschijnlijk weet je dat er (grafisch) twee methoden zijn om de som van twee vectoren te vinden (zie ook Wikipedia: vector). Eén methode is via een parallellogram:

q85762img1.gif

Voor jouw vraag is een tweede methode handiger, de 'kop-staart-methode'. Om de som van vector a en vector b te vinden, plaats je de 'staart' van vector b op de 'kop' van vector a. De somvector loopt dan vanaf de staart van de eerste vector naar de kop van de tweede vector:

q85762img2.gif

Nu jouw vraag: vector b - vector a is een vector in de richting van A naar B, en met de lengte AB. Om vector z te vinden, nemen we eerst vector a, en met de 'kop-staart-methode' moet hier een vecor bij opgeteld worden die loopt van A naar Z. Dit is in de richting van vector b - vector a, maar de lengte is slechts 3/7 van de totale afstand van A naar B. Vandaar:

vector z = vector a + 3/7(vector b - vector a)

q85762img3.gif

We kunnen ook eerst naar B 'reizen' en vervolgens 4/7 van de afstand BA afleggen (dus in omgekeerde richting, ofwel in de richting vector a - vector b). Dan krijgen we:

vector z = vector b + 4/7(vector a - vector b)

Als je de haakjes wegwerkt, zal je zien dat je in beide gevallen krijgt:

vector z = 4/7·vector a + 3/7·vector b.

GHvD
2-3-2018


Maximale baansnelheid

Hallo,

Ik heb een vraagje. Er is een formule gegeven van de baansnelheid namelijk Iv(t)I = √(10+6cos(t)). En ik moet maximale de baansnelheid berekenen, dus waar 10+6cos(t) maximaal is. Er wordt dan gezegd dat het voor cos(t) = 1? Maar hoe komen ze hierop?

Daarnaast is de formule x(t) = t + 3sin(t) en y(t) = 3+3cos(t) gegeven. Komt die 1 doordat de eenheidscirkel van de cosinus maximaal 1 is? Ik kan namelijk niet zo snel uitvogelen waar die 1 vandaan moet komen. Alvast bedankt!

Mvg,
Anna

Anna
5-3-2018

Antwoord

Printen
Je hebt toch wel geleerd dat de cosinus (en de sinus) alle waarden van $-1$ tot en met $1$ aannemen? En dat $\cos t$ de maximale waarde $1$ aanneemt als $t$ een geheel veelvoud is van $2\pi$?
Dat heeft inderdaad te maken met de definitie van $\cos t$ via de eenheidscirkel.

Zie Wikipedia: sinus en cosinus

kphart
5-3-2018


Bewegingsvergelijking en hoek

Hoi,

Ik loop echt heel erg vast bij twee opgaven. Zelfs met antwoordenboek kom ik er niet uit.

Bij de eerste vraag moet ik de hoek van driehoek OAM uitdrukken in t en laten zien dat de formule van y(t) juist is. Ze beweren dus dat driehoek OAM gelijkbenig is, maar M lijkt voor mij iets te ver naar beneden? Ze geven als antwoord omdat driehoek OAM gelijkbenig is dat hoek MOA = hoek MAO = 1/2$\pi$ - t? Ik weet niet hoe ze ineens hierop komen. Doordat ik deze stappen al niet snap kom ik ook niet uit bij de volgende stappen in het antwoordenboek.



Mijn tweede vraag gaat over een bewegingsvergelijking op te stellen van T. Om vector QP te berekenen wordt vector p - vector q gedaan dat is 2cos(t) / sin (t) 1-cos(2t)? Maar waarom is vector p gelijk aan yp(t) en vector q gelijk aan xp(t). Het rekenen is eigenlijk niet het probleem. Maar ik weet niet welke stappen ik moet zetten en hoe ze op die stappen komen om uiteindelijk tot het goede antwoord te komen? Ik hoop dat iemand misschien mij hier op weg kan helpen?

Cindy
7-3-2018

Antwoord

Printen
De benen $MO$ en $MA$ zijn beide gelijk aan $1$, vandaar gelijkbenig.
Dus zijn de hoeken $\angle MOA$ en $\angle MAO$ gelijk.
Ten slotte: $\angle MOA$ en de hoek $t$ zijn samen een rechte hoek.

Iets beter lezen: er staat niet dat $p$ gelijk is aan $y_p(t)$; dat kan ook niet: $p$ is een vector en $y_p(t)$ is een getal.
Er geldt
$$
p=\binom{\displaystyle\frac{2\cos t}{\sin t}}{1-\cos 2t}
$$en
$$
q=\binom02
$$Als je die van elkaar aftrekt krijgt je
$$
\binom{\displaystyle\frac{2\cos t}{\sin t}}{-1-\cos 2t}
$$

kphart
8-3-2018


Re: Bewegingsvergelijking en hoek

Hoi,
Dank u wel dit snap ik nu wel, ik heb er opnieuw naar gekeken maar ik blijf alsnog bij beiden steken.
Bij de eerste opgave zeggen ze dat de hoekensom driehoek OAM geeft hoek OMA = $\pi$ - (1/2$\pi$ -t) - (1/2$\pi$ - t ) = 2t. Hoe komen ze op $\pi$?

Of is die $\pi$ hetzelfde als 180 graden en dan kan de ontbrekende hoek zoals normaal met 180 graden het nu met radialen kunnen berekenen?

Vraag 2
Ik snap nu door mijn leesfout en uw hulp hoe ze op die formule komen, maar ik begrijp niet waarom ze de vector willen weten van QP?
Daarna wordt er gezegd dat vector OT = vector OQ + vector 1/2QP + vector 1/2QP(L). Ik snap niet waarom ze dit doen en hoe je hiermee een bewegingsvergelijking mee kan opstellen.

Cindy

Cindy
8-3-2018

Antwoord

Printen
1. Inderdaad in dit soort omstandigheden rekenen we met radialen; de som van de hoeken in een driehoek is $\pi$ radialen dus.

2. De vectoren $OQ$ en $QP$ hangen van $t$ af; de resulterende vector $OT$ dus ook, je krijgt de plaats van $T$ als functie van $t$. Dat is toch wat gezocht wordt? In het vierkant op de basis $QP$ geldt dat $QT=\frac12QP+\frac12QP(L)$ (ik neem aan dat $QP(L)$ betekent dat je $QP$ over een rechte hoek draait).

kphart
8-3-2018


Resultante berekenen en hoek tussen resultante en vector

Bij een oefening komt voor dat er tussen F1 (verticaal, 100N) en F2 (100 N) een hoek is van 60°. tussen F1 en F3 (200N) is er een hoek van -60°.

Nu moeten we de resultante berekenen en de grootte van hoek die deze vormt met F3.

Ik begin dus met de resultante te zoeken tussen F1 en F2, dan kom ik alweer een niet afgerond getal uit. En dan zou ik met die resultante en F3 een andere resultante moeten bekomen. Maar ik kom er maar niet bij.

Hoe begin ik er dan aan? en hoe zoek ik dan de ingesloten hoek die je gebruikt in de formule om je resultante te vinden?

Admin
10-3-2018

Antwoord

Printen
Voor de beantwoording maken we eerst een schets:

q85800img2.gif

We kiezen een assenstelsel: naar rechts is positief (x), naar boven is positief (y). Dan ontbinden we de gegeven krachten in x- en y-richting:

F1,x = 0
F2,x = 100·sin(60°) = 50√3 N
F3,x = -200·sin(60°) = -100√3 N

Opgeteld levert dit de x-component van de resulterende kracht:

Fres,x = -50√3 N -86,6 N (dus 86,6 N naar links).

Hetzelfde voor de y-richting:

F1,y = 100 N
F2,y = 100·cos(60°) = 50 N
F3,y = 200·cos(60°) = 100 N

Fres,y = 250 N naar boven.

Onderstaande figuur geeft dit resultaat weer:

q85800img3.jpg

De grootte van de resulterende kracht vinden we met behulp van Pythagoras:

(Fres)2 = (Fres,x)2+(Fres,y)2

(Fres)2 = (-50√3)2+2502 = 70000
Fres = √70000 264,6 N

Dan nog de richting van deze resulterende kracht. In de figuur is te zien dat voor de hoek $\alpha$ tussen Fres en de verticaal geldt:

Tan($\alpha$) = Fres,x/Fres,y
Tan($\alpha$) = 86,6/250
$\alpha$ = tan-1(86,6/250)
$\alpha$ 19,1°

Voor de hoek $\beta$ tussen Fres en F3 blijft dan over:

$\beta$ = 60-19,1 = 40,9°

GHvD
10-3-2018


Ellips en hyperbool

Ik heb dus twee vragen!

1. de ellips:
gegeven de ellips x2/a2 + y2/b2=1.
De afstand middelpunt/brandpunt is e. De afstand richtlijn/y-as is d. In alle leerboeken over de ellips, die ik heb wordt gesteld: teken de lijn d=a2/e. Deze laatste formule moet toch af te leiden zijn... of niet?

2. de hyperbool:
wat is de relatie tussen x2/a2-y2/b2=1 en xy=a?

bvd
Jaap

Jaap v
2-4-2018

Antwoord

Printen
1.
Natuurlijk. Er is een factor $\alpha $>$ 1$ zó dat voor een punt $(x,y)$ op de ellips geldt $d-x=\alpha\sqrt{(x-e)^2+y^2}$. Vul nu de punten $(a,0)$ en $(0,b)$ in en elimineer $\alpha$; je vindt de gewenste relatie.

2.
De lineaire afbeelding bepaald door $u=\frac{\sqrt a}{2}(x+y)$ en $v=\frac{b}{2\sqrt a}(-x+y)$ voert een punt $(x,y)$ op de tweede hyperbool over in een punt $(u,v)$ op de eerste hyperbool.

kphart
2-4-2018


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb