WisFaq!

Het snijpunt $(x,y)$ moet op alledrie lijnen liggen, dat betekent dat het alledrie vergelijkingen kloppend maakt. Als je de matrix in drie kolommen verdeelt, $K_1$, $K_2$, en $K_3$ dan betekent dit dat $x\cdot K_1+y\cdot K_2+K_3$ de nulvector moet zijn. En dat betekent weer dat de kolommen lineair afhankelijk zijn, en dat is weer equivalent aan het gelijk aan $0$ zijn van de determinant.
kphart
7-1-2025

Re: Re: Re: Kegelsneden en krommen: ellips

Waarom de nulvector?
PVN
7-1-2025

Antwoord

In het oorspronkelijke antwoord zijn de vergelijkingen van de drie lijnen gegeven:
de raaklijn: $b^2x_1\cdot x +a^2y_1\cdot y -a^2b^2=0$
de loodlijn daarop uit $F$: $a^2y_1\cdot x -b^2x_1\cdot y -a^2y_1c=0$
en de lijn door $O$ evenwijdig aan $F'D$: $y_1\cdot x-(x+1+c)x=0$
In het antwoord staan ze in de matrix in een andere volgorde weergegeven:
$$\begin{cases}
a^2y_1\cdot x -b^2x_1\cdot y -a^2y_1c=0\\
y_1\cdot x-(x_1+c)x +0 = 0\\
b^2x_1\cdot x +a^2y_1\cdot y -a^2b^2=0
\end{cases}
$$Zet alles met een $x$ in een vector, alles met een $y$, en alles zonder $x$ of $y$ ook (daarom staat er een extra $0$ in de tweede vergelijking). Dan kun je de drie vergelijkingen als één vergelijking zien:
$$x\begin{pmatrix}a^2y_1\\y_1\\b^2x_1\end{pmatrix} +
y\begin{pmatrix}-b^2x_1\\-(x_1+c)\\a^2y_1\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}-a^2y_1c\\0\\-a^2b^2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$$En daar staat wat in het vorige antwoord staat: $x\cdot K_1+y\cdot K_2+K_3=\mathbf{0}$.

kphart
8-1-2025