WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Algebra

Isomorfie

(Z/8Z)* en (Z/10Z)* en (Z/12Z)* zijn alle drie isomorf met (Z/4Z,+).
(Z/10Z)* en (Z/4Z,+) zijn isomorf omdat de orden gelijk zijn: {1,2,4,4}

Waarom zijn (Z/8Z)* met orden {1,2,2,4} en (Z/12Z)* met orden {1,2,2,2} isomorf met (Z/4Z,+) met orden (1,2,4,4} ?

Gr, Jan

Herman
9-1-2025

Antwoord

Helaas, je eerste zin klopt niet.

De groep $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^*$ is cyclisch want $3^2=9$, $3^3=7$, en $3^4=1$, dus $3$ brengt de groep voort. Dus inderdaad: $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^*$ is isomorf met $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$.

Echter, $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*=\{1,3,5,7\}$ en $3^2=5^2=7^2=1$, dus deze groep is niet cyclisch. Idem voor $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^*=\{1,5,7,11\}$: ook $5^2=7^2=11^1=1$.
Deze twee groepen zijn dus isomorf met de Viergroep van Klein.
kphart
9-1-2025

Re: Re: Functies

Is de HA: y= -3 + (9+a)/(x+3) of alleen maar -3, want normaal heeft de horozontale asymptoot toch de vorm van y=c (c niet 0)...
Bert
19-1-2025

Antwoord

Een asymptoot is een rechte lijn, dus een horizontale asymptoot heeft een vergelijking van de vorm $y=c$ (en $c=0$ kan voorkomen: $y=0$ beschrijft de $x$-as).

Dus, nee, $y=-3$ beschrijft hier de horizontale asymptoot; de vergelijking $y=-3+(9+a)/(x+3)$ beschrijft de grafiek van de functie $f$.
kphart
19-1-2025

Bewijs

Bewijs dat 2/a + 3/b gelijk is aan 1 als 2^a = 36 en 3^b=216, ik zit hier echt al lang op te denken. Ik heb al veel dingen geprobeerd zoals verbanden zoeken maar ik zit vast.
Bert
19-1-2025

Antwoord

Gebruik logaritmen: $a={}^2\log36 = {}^2\log4+{}^2\log9$ en $b={}^3\log216={}^3\log27+{}^3\log8$. Gebruik de rekenregels om $a$ en $b$ nog wat mooier te maken en reken dan $\frac2a+\frac3b$ maar eens uit.
kphart
19-1-2025

Factor

Als f(x)=9x³+ax²+bx+1 en g(x)= 9x⁴-cx²-17x-2 en als de drie nulwaarden van f ook drie nulwaarden zijn van g, waarom is dit dan juist g(x)=f(x)(x-2)
Bert
19-1-2025

Antwoord

Het gegeven impliceert dat $f$ een deler van $g$ is. En als je naar de graden kijkt zie je dat $g(x)$ te schrijven moet zijn als $f(x)(px+q)$. Maar als je $f(x)(px+q)$ uitschrijft begin het met $9px^4$ en eindigt het met $q\cdot1$.
Daaruit volgt dat $9p=9$, dus $p=1$, en $q\cdot1=-2$, dus $q=-2$.
kphart
19-1-2025

Re: Bewijs

De oefening was om geen logaritmen gebruiken.
Hendri
21-1-2025

Antwoord

Reken dan $6^{\left(\frac2a+\frac3b\right)} $ maar eens uit.
kphart
21-1-2025

Re: Re: Bewijs

Je hoeft het niet echt uit te rekenen:

a = 2 log(6) / log(2)
b = 3 log(6) / log(3)
2/a = log(2) / log(6)
3/b = log(3) / log(6)
2/a + 3/b = (log(2) + log(3)) / log(6) = 1
Martij
21-1-2025

Antwoord

Maar het moest zonder logaritmen, dus ...
kphart
21-1-2025

Re: Re: Bewijs

Maar daar heb je a voor nodig. Hoe kan je a berekenen zonder logaritmen?
Hendri
21-1-2025

Antwoord

Dat is juist het aardige: je hebt $a$ en $b$ niet nodig: er geldt
$$6^{\frac2a+\frac3b}=6^{\frac2a}\cdot6^{\frac3b}=(6^2)^{\frac1a}\cdot(6^3)^{\frac1b}
$$Nou jij weer.
kphart
21-1-2025

Re: Re: Re: Bewijs

Hoe kom je aan 6? Waarom moet je 6 tot die macht verheffen. Je moet gewoon proberen a en b bepalen en dan het bewijs doen staat er in mijn boek.
Hendri
21-1-2025

Antwoord

Er geldt $36=6^2$ en $216=6^3$; daar komt de $6$ vandaan.
kphart
21-1-2025

Re: Re: Re: Re: Bewijs

En waarom moet je die 6 tot die macht doen? Hoe kan je a en b betekenen of gaat dat niet?
Hendri
21-1-2025

Antwoord

Je hoeft $a$ en $b$ niet te berekenen.
Je weet uit het gegeven wat $36^{\frac1a}$ is en wat $216^{\frac1b}$ is. En als je alles bij elkaar neemt kun je $6^{(\frac2a+\frac3b)}$ berekenen, en die uitkomst zegt iets over $\frac2a+\frac3b$.
kphart
21-1-2025

Vergelijking

De vergelijking sqrt(x²-1) $>$ -x zou je makkelijk kunnen oplossen met een tekentabel, maar er is nog een andere oplossingsmethode,sqrt(x²-1) is een parabool, zitten we aan de stijgende of dalende kant dan keert het teken (wel) om... Hoe werkt dit precies?
Pieter
28-1-2025

Antwoord

Om te beginnen: de grafiek van $y=\sqrt{x^2-1}$ bestaat uit de helften van de hyperbool met vergelijking $x^2-y^2=1$ die boven de $x$-as liggen. Dus, nee, het is geen parabool.

Iets makkelijken: $\sqrt{x^2-1}$ is kleiner dan $\sqrt{x^2}$ en dat is weer gelijk aan $|x|$. Dus als $x$ negatief is heb je $\sqrt{x^2-1} < |x|=-x$.
Verder, als $x$ positief is geldt $\sqrt{x^2-1} \ge0 > -x$.
NB de uitdrukking is alleen geldig als $|x|\ge1$.
kphart
28-1-2025

Volgorde van bewerkingen bij het vertalen van een vergelijking

Mag je bij het vertalen van een vergelijking de volgorde van bewerkingen toepassen?

Voorbeeld: 4 plus een getal = 4 + x
Maar mag je ook x + 4 schrijven?
Brent
9-3-2025

Antwoord

Dat lijkt me prima. Bij vergelijkingen geldt de normale volgorde van bewerkingen.
WvR
9-3-2025