De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Algebra

Een stelsel van vergelijkingen

Hoi,

In mijn Engelse wiskundeboek staat: 'If the sum of the digits of a two digit number is 7, then what are those digits when the reversed is 9 more than the original?'

Ik weet dat het antwoord 34 and 43 is. Maar hoe schrijf ik dit als een stelsel van vergelijkingen als ik het wil oplossen? De eerste is: x + y = 7. Maar wat is de tweede?

Dank.

Martin
11-1-2018

Antwoord

Printen
Het getal bestaat uit de cijfers $x$ en $y$ en heeft de waarde $10x+y$. Als je cijfers omdraait krijg het getal de waarde $x+10y$. Die waarde is dan $9$ groter dan die andere...

Ik kom dan uit op:

$x+y=7$
$x+10y=10x+y+9$

$x=3$
$y=4$

...en dat werkt...

PS
't Is altijd goed te bedenken wat variabelen precies voorstellen en welke operaties zinvol zijn. In dit geval geeft $x$ de tientallen aan en de $y$ de eenheden. Het getal is dan gelijk aan $10x+y$ en dan kan je er iets mee. Bijvoorbeeld de cijfers omdraaien.

WvR
11-1-2018


Groep, veld, geordend veld, ring en euclidische ring

Beste

Ik ben enorm in de war met de begrippen: groep, veld, geordend veld, ring en euclidische ring. Kunt u me misschien uitleggen wat deze allemaal betekenen? Voornamelijk wat een (euclidische) ring is, staat nergens in ons boek.

Verder stond er ergens dat de verzameling van complexe getallen net geen commutatieve groep is, wel als men 0 niet meerekent. Verder staat dan weer dat het C (met 0) wel een commutatieve groep is... Wat is dan juist?

Alvast heel erg bedankt!!!

Emily
17-1-2018

Antwoord

Printen
Hallo, Emily.

U vraagt wel veel tegelijk!
Kijk eerst eens op Wikipedia (in Nederland zeggen we 'lichaam' (wiskunde) ipv 'veld'). Of kijk bij de FAQ.
De complexe getallen vormen met de optelling een commutatieve groep met neutraal element 0.
De complexe getallen met daaruit weggelaten 0 vormen met de vermenigvuldiging een commutatieve groep met neutraal element 1.

hr
17-1-2018


Wat is het verschil tussen een formule en een vergelijking?

Op internet kun je verschillende definities vinden voor een formule en een vergelijking.

Wat is een correcte definitie voor een formule en voor een vergelijking? Is alles met een =-teken een vergelijking?

y=5x

Dit noemen we over het algemeen een formule. Maar mogen we het ook een vergelijking noemen? We vergelijken immers y met 5x.

Henk W
17-1-2018

Antwoord

Printen
Beste Henk,

Volgens mij zijn er geen universeel gangbare, strikte definities van deze termen maar er is wel een onderscheid in gebruik.

Een vergelijking drukt de gelijkheid uit tussen twee uitdrukkingen die ťťn of meerdere variabelen bevatten. Het is dus van de vorm
$$\ldots = \ldots$$en bevat minstens ťťn onbekende of variabele. Onder het 'oplossen' van een dergelijke vergelijking verstaan we dan het vinden en/of geven van (alle mogelijke) waarden die deze variabelen kunnen aannemen, zodat de gelijkheid geldt. Bijvoorbeeld is
$$x^2+y^2=4$$een vergelijking in twee variabelen en de verzameling van alle koppels (x,y) die eraan voldoen liggen op een cirkel met straal 2.

Een formule wordt algemener gebruikt (denk bijvoorbeeld aan een chemische formule) maar in wiskundige context geeft het steeds een bestaand verband tussen verschillende variabelen of grootheden. Het is een symbolische samenvatting van een regel die je ook in woorden kan uitdrukken. Zo is de oppervlakte van een cirkel met straal $r$ gelijk aan $\pi r^2$. Als je die oppervlakte met de variabele $S$ aanduidt, kan je dit met behulp van een formule compact noteren:
$$S=\pi r^2$$In tegenstelling tot bij een vergelijking moet je hier niets 'oplossen', maar geeft deze formule een regel om de oppervlakte $S$ te berekenen door de straal $r$ in te vullen.

Een ander voorbeeld om het verschil te illustreren: voor getallen a, b en c en een reŽle variabele x is $ax^2+bx+c=0$ de algemene vorm van een kwadratische vergelijking in x.
Als je hiervan de oplossingen wil bepalen, kan je gebruikmaken van de ('abc-')formule die de oplossingen voor x in functie van de coŽfficiŽnten a, b en c geeft:
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$mvg,
Tom

td
17-1-2018


Rationale exponenten

Beste,

Een vraagje om zeker te zijn dat ik het goed begrijp.
Als je de vergelijking x2=4 oplost, dan zijn er twee oplossingen, namelijk x=2 en x=-2 (want je hebt zowel een positieve als een negatieve machtswortel bij een even exponent).

Maar, als je de volgende vergelijking bekijkt:
x4/2=4, dan heeft deze maar 1 oplossing, namelijk x=2. Want de exponent is rationaal, wat dus veronderstelt dat mijn grondtal positief moet zijn.

Is dit correct?

Alvast bedankt!

Mvg,
Pando

Pandol
26-1-2018

Antwoord

Printen
Het hangt allemaal van je afspraken af Je kunt er voor kiezen altijd eerst de breuk te vereenvoudigen. In dat geval geldt $x^{\frac42}=x^2$.
En ook als de breuk vereenvoudigd is kun je kiezen:
$$
x^{\frac tn}=(x^t)^{\frac1n}
$$
of
$$
x^{\frac tn}=(x^{\frac1n})^t
$$
Zolang de $x$ positief is maakt dat allemaal niets uit want we kiezen in dat geval voor $x^{\frac1n}$ altijd de positieve $y$ met $y^n=x$.
Voor negatieve $x$-en lukt $x^{\frac1n}$ wel voor oneven $n$ en niet voor even $n$.
Zie onderstaand artikeltje uit Pythagoras voor meer.
Zie Pythagoras: Machtsverheffen voor gevorderden

kphart
26-1-2018


x isoleren

Ik moet de x isoleren maar ik heb geen idee hoe:

-0,15(x+25)2+15=0

iris
4-2-2018

Antwoord

Printen
Hallo Iris,

-0,15(x+25)2+15=0

Links en rechts 15 aftrekken:
-0,15(x+25)2=-15

Links en rechts delen door -0,15:
(x+25)2=100

Dan is:
x+25=√100 of x+25=-√100

x+25=10 of x+25=-10

x=-15 of x=-35

OK zo?

GHvD
4-2-2018


Getal berekenen uit twee vergelijkingen

Beste,

A, B, C en D staan voor cijfers. Er geldt:
AB              AB
CA CA
-- + -- -
DA A
Er wordt gevraagd om een antwoord voor D te geven en je kunt kiezen uit: 5, 6, 7, 8 of 9.

Met trial en error kwam ik op D=9 als ik invul: A=5, B=0 en C=4. Ik weet echter niet hoe ik dit algebraisch zou moeten oplossen. Hulp is gewenst. Alvast bedankt.

Arjan
25-2-2018

Antwoord

Printen
Stap voor stap: $B+A=A$, dus $B=0$; dan: $A+A=10$, dus $A=5$. Vervolgens geeft $50-C5=5$ dat $C=4$. Dan lukt het verder wel.

kphart
25-2-2018


Herleiden

Met de volgende opgave heb ik problemen:

$
\eqalign{\frac{{\left( {a\sqrt b } \right)^{\frac{1}
{3}} \cdot \left( {a^{ - 2} b^6 c^4 } \right)^{ - \frac{1}
{2}} \cdot \left( {\root 3 \of a } \right)^{ - 6} }}
{{\left( {\sqrt a } \right)^{ - \frac{4}
{3}} \cdot \left( {\root 6 \of b } \right)^{ - 17} \cdot c^{ - 2} }}}
$

Ik weet dat als ik bij bovenstaande dezelfde letters al met elkaar optel ik a en c al kan schrappen. Dan kom ik uiteindelijk niet op $1$ uit. Misschien een domme vraag maar hoe kan dat de uitkomst 1 is in een opgave vol letters?

Alvast bedankt voor uw hulp

Evelin
12-3-2018

Antwoord

Printen
Uitwerken geeft:

$
\eqalign{
& \frac{{\left( {a\sqrt b } \right)^{\frac{1}
{3}} \cdot \left( {a^{ - 2} b^6 c^4 } \right)^{ - \frac{1}
{2}} \cdot \left( {\root 3 \of a } \right)^{ - 6} }}
{{\left( {\sqrt a } \right)^{ - \frac{4}
{3}} \cdot \left( {\root 6 \of b } \right)^{ - 17} \cdot c^{ - 2} }} = \cr
& \frac{{a^{\frac{1}
{3}} b^{\frac{1}
{6}} \cdot a^1 b^{ - 3} c^{ - 2} \cdot a^{ - 2} }}
{{a^{ - \frac{2}
{3}} \cdot b^{ - \frac{{17}}
{6}} \cdot c^{ - 2} }} = \cr
& \frac{{a^{ - \frac{2}
{3}} b^{ - \frac{{17}}
{6}} \cdot c^{ - 2} }}
{{a^{ - \frac{2}
{3}} \cdot b^{ - \frac{{17}}
{6}} \cdot c^{ - 2} }} = 1 \cr}
$

Probeer alle stappen te volgen en anders nog maar even goed kijken en doorvragen!

Naschrift
Je kunt ook een plaatje of een linkje sturen. Of gebruik een formule-editor!

WvR
12-3-2018


Breuken met gebroken exponenten vereenvoudigen

Hallo,

Momenteel heb ik een antwoord uitgerekend wat klopt. Echter staat deze nog niet in de 'goede' vorm. Ik heb zelf al flink zitten puzzelen maar ik kom er niet uit. De 'vereenvoudiging' is als volgt:

18/101,5 $\to$ 27/25 ∑ √(5)

Pascal
12-3-2018

Antwoord

Printen
Om maar 's een kort verhaal lang te maken:

$
\eqalign{
& \left( {\frac{{18}}
{{10}}} \right)^{1,5} = \cr
& \left( {\frac{9}
{5}} \right)^{\frac{3}
{2}} = \cr
& \left( {\frac{{3^2 }}
{5}} \right)^{\frac{3}
{2}} = \cr
& \frac{{\left( {3^2 } \right)^{\frac{3}
{2}} }}
{{5^{\frac{3}
{2}} }} = \cr
& \frac{{27}}
{{\sqrt {5^3 } }} = \cr
& \frac{{27}}
{{5\sqrt 5 }} = \cr
& \frac{{27}}
{{5\sqrt 5 }} \cdot \frac{{\sqrt 5 }}
{{\sqrt 5 }} = \cr
& \frac{{27}}
{{25}}\sqrt 5 \cr}
$

Helpt dat?

PS
Je zou wel (18/10)1,5 moeten schrijven dan... met haakjes!

Met de GR

WvR
12-3-2018


Negatieve exponenten

Al na het verwerken de uitkomst 3AB-1 is. Moet je de B tot de macht -1 dan nog tot breuk verwerken?

Paula
8-4-2018

Antwoord

Printen
Als de opdracht is om de uitdrukkingen te schrijven zonder negatieve of gebroken exponenten dan maak je van de machten met de negatieve exponenten uitdrukkingen zonder negatieve exponenten.

In dit geval:

$
\eqalign{3AB^{ - 1} = \frac{{3A}}{B}}
$

Helpt dat?

PS
Tenzij anders vermeld is het in het algemeen niet gebruikelijk om negatieve of gebroken exponenten in je eindantwoord te laten staan.

WvR
8-4-2018


Cyclische groep

Een cyclische groep kan in multiplicatieve en in additieve notatie. Dus xk = kx. Dat snap ik niet. Kunt u dit in een helder voorbeeld uitleggen? Is er ook een Hollands boek over dit onderwerp met heldere voorbeelden? Alvast bedankt.

herman
11-4-2018

Antwoord

Printen
De bewerking in een abstracte groep wordt vaak met een sterretje genoteerd, dus als $x*y$ en ook wordt er wel $xy$ geschreven. Maar in concrete groepen gebruiken we de gegeven bewerking:
Bij de gehele getallen nemen we dus de $+$.
Alle rotaties om de oorsprong in het vlak vormen ook een groep met als bewerking: "samenstelling van afbeeldingen", dat wordt vaak als $f\circ g$ geschreven (spreek uit "$f$ na $g$"), maar uit luiheid wordt die $\circ$ vaak weggelaten en schrijven we $fg$. Als je een afbeelding $f$ een paar keer na zichzelf uitvoert zou je $fffff$ kunnen schrijven maar dat is onoverzichtelijk en daarom schrijven we dat als macht: $fffff=f^5$.
Dat laatste kun je in elke groep doen: $x*x*x*x*x=xxxxx=x^5$.
En ja, als je die afkorting gebruikt bij de gehele getallen dan krijg je wat in je vraag staat: $x^5$ is een afkorting van $x*x*x*x*x$, maar dat is hier $x+x+x+x+x$, en dat noteren we dus meestal als $5x$.
Het gaat dus om twee afkortingen voor hetzelfde ding.

Er zijn eigenlijk geen elementaire boeken over groepen in het Nederlands maar de wikipediapagina doet zijn best.

Zie Wikipedia: Groep

kphart
12-4-2018


Re: Cyclische groep

Ik vat dit niet. Stel je hebt een groep van 5 getallen: {0,1,2,3,4}. Wat ken ik met bovenstaande theorie met deze getallen concreet doen? Hoe kan ik modulair rekenen hier toepassen?

herman
12-4-2018

Antwoord

Printen
Wat vat je niet? En waar ben je de kreet `cyclische groep' tegengekomen?
Het is wel belangrijk dat je de definitie van het begrip `groep' kent en begrijpt.
Wat $\{0,1,2,3,4\}$ betreft: met `optellen modulo $5$' als bewerking voldoet dit aan de eisen van `groep' (zie de wikipediapagina).
We definiŽren nu $x*y$ als $x+y\pmod5$, dus $0*0=0$, $0*1=1$, ..., $0*4=4$, $1*0=1$, ..., $1*3=4$, $1*4=0$, $2*0=2$, ..., $2*3=0$, $2*4=1$, ..., tot en met $4*4=3$.
Dit voldoet aan de regels, dus
$(x*y)*z=x*(y*z)$ voor alle $x$, $y$, en $z$.
$0*x=x$ voor alle $x$ ($0$ is het neutrale element).
$0*0=0$, $1*4=0$, $2*3=0$, dus elk element heeft een inverse.
Dat is het: we hebben een groep gemaakt.
De groep is cyclisch omdat elk element te schrijven is als een macht van $1$: $2=1*1$, $3=1*1*1$, $4=1*1*1*1$ en $0=1*1*1*1*1$ (en $1*1*1*1*1*1=1$).
En met de machtennotatie kun je dus schrijven $2=1^2$, $3=1^3$, $3=1^4$, en $0=1^5$.
Veel mensen schrijven in dit geval, van modulo rekenen, gewoon $x+y$ in plaats van $x*y$, en $k\cdot x$ in plaats van $x^k$.

kphart
14-4-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb