L`Hôpital
Geachte,
De opgave is: $\sqrt{}$ (x2+x)-x en limiet van x naar -oneindig.
Volgens mij moet het antwoord zijn (na splitsing) $\infty $ -(- $\infty $ =
$\infty $
Nu wilde ik een andere oplossing proberen door de substitutie x=1÷u met u naar 0 (vanaf de 'negatieve' kant moet daar eigenlijk bij)
limiet van u naar 0: ( $\sqrt{}$ (1+u)-1):u geeft na Hôpital 1:(2 $\sqrt{}$ 1+u)= 0,5 als x nadert vanaf de positieve kant naar 0.
Maar hoe maak je het onderscheid bij Hôpital als x nadert vanaf de positieve of de negatieve kant.
Ik kom hier dus met Hôpital niet aan het antwoord: $\infty $ ???
Hartelijk dank voor uw antwoord!
Diana
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 22 januari 2025
Antwoord
In je substitutie heb je in de wortel $\frac1{u^2}$ buiten de haakjes gehaald,
dan krijg je
$$\sqrt{\frac1{u^2}(1+u)}=\sqrt{\frac1{u^2}}\cdot\sqrt{1+u}
$$Als $u$ positief is geeft dat inderdaad
$$\frac1u\cdot\sqrt{1+u}
$$maar als $u$ negatief is komt er
$$-\frac1u\cdot\sqrt{1+u}
$$Je nieuwe limiet wordt dus
$$\lim_{u\uparrow0}\frac{\sqrt{1+u}+1}{-u}
$$De teller heeft dan limiet $2$, en de noemer gaat van boven naar $0$, dus de regel van de l'Hopital is hier niet toepasbaar.
De limiet is inderdaad $\infty$, niet dankzij de l'Hopital, maar omdat de uitdrukking groter is dan $-\frac1u$.
kphart
woensdag 22 januari 2025
©2004-2025 WisFaq
|