Epsilon delta bewijs

Beste

Ik begin steeds beter de epsilon delta bewijs te begrijpen, maar ik zit vast aan 1 bepaalde stap. Stel we moeten bewijzen dat de limiet x$\to$2 van x² gelijk is aan 4. Dan moet jij op een gegeven moment zeggen laat delta=min(1,epsilon/5). Ik kan maar niet uitmaken waarom dit het geval is. Alvast bedankt voor uw hulp!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
3de graad ASO - vrijdag 17 juli 2020

Antwoord

Dat is een kunstgreep die uit deze gelijkheid komt:
$$x^2-4 = (x-2)(x+2)
$$Hieruit volgt $|x^2-4|=|x+2|\cdot|x-2|$; daarmee is er een relatie gelegd tussen $|x^2-4|$ en $|x-2|$.
De factor $|x+2|$ is variabel en die wil je eigenlijk vast hebben.
Als nu geldt dat $|x-2| < 1$ dan geldt zeker $|x+2| < 5$ en dan dus ook $|x^2-4| < 5|x-2|$.
Daarom neemt men $\delta$ als in je vraag.
Als $|x-2| < \delta$ dan gelden er twee dingen: $|x-2| < 1$ en $|x-2| < \varepsilon/5$.
Wegens het eerste kunnen we dan zeggen $|x^2-4| < 5|x-2|$ en dankzij het tweede kunnen we dan zeggen $|x^2-4| < 5\cdot\varepsilon/5 =\varepsilon$.

Het doel is dus de variabele $|x+2|$ door een vast getal te vervangen.

kphart
vrijdag 17 juli 2020

©2001-2024 WisFaq