Vergelijking van rechten en vlakken

Beste,

1.
Klopt het dat indien we analytisch willen nagaan of een rechte en een vlak evenwijdig zijn dat we een matrix opstellen en oplossen. Indien we uitkomen dat het stelsel vals is of we komen uit op de gegeven rechte dan wil het zeggen dat die vlak en rechte evenwijdig zijn? Hoe stellen we die matrix dan op als dit klopt?

2.
Mijn tweede vraag is hoe ik eraan kan beginnen om analytisch te bewijzen dat als een rechte één van twee evenwijdige vlakken snijdt dat ze dan ook het andere snijdt?

Alvast bedankt!

Jan
3de graad ASO - zaterdag 15 februari 2020

Antwoord

1.
De 3x3-matrix bestaat uit twee richtvectoren van het vlak en een richtvector van de rechte.

Als je deze matrix rijcanoniek maakt (gereduceerde echelonvorm, Gauss-Jordan) en er ontstaat een nulrij (de rang van de matrix is 2), wil dit zeggen dat de richtvector van de rechte een lineaire combinatie is van de twee richtvectoren van het vlak en is de rechte evenwijdig met het vlak of ligt ze erin.

Als deze matrix geen nulrij heeft en de eenheidsmatrix van rang 3 is wil dit zeggen dat de rechte het vlak snijdt.

2.
Als een rechte het ene vlak snijdt, is de rang van bovenvermelde matrix gelijk aan 3. Als twee vlakken evenwijdig zijn, zijn een stel richtvectoren van het ene vlak ook een stel richtingsvectoren van het andere vlak. De matrix van de rechte en het andere vlak is dus identiek en hiervan is de rang dus ook gelijk aan 3. Dus de rechte snijdt ook het tweede vlak.

Ok?

zondag 1 maart 2020

©2001-2024 WisFaq