Equivalentie van limieten bewijzen

Gegeven is dat we met de volgende limiet definitie werken: $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b$ betekent dat voor $\forall \epsilon $>$ 0, \ \exists \delta $>$ 0$ zo dat $(x \in \text{Dom}(f)$ en $d(x, a) $<$ \delta) \Rightarrow d(f(x), b) $<$ \epsilon$. (Hierbij geldt dat $a \in V, b \in W$ met $V,W$ metrische ruimten, en dat $f: A \subset V \rightarrow W$).

Nu wordt gevraagd om te bewijzen $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(a + h)$. Omdat dit uitspraken zijn en geen getallen, bewijs ik de bi-implicatie.

Ik loop echter vast bij het bewijs voor de implicatie van links naar rechts. Mijn bewijs gaat tot nu toe als volgt (voor het gemak even met $f: D \subset R \rightarrow R$):

Zij $\epsilon $>$ 0$ willekeurig. Dat betekent dat er een $\delta_0 $>$ 0$ en een $b \in R$ zodat als $x \in \text{Dom}(f)$ en $|x - a| $<$ \delta \Rightarrow |f(x) - b| $<$ \epsilon$. Neem nu $\delta $>$ 0$ zodat $\delta = \delta_0$. Laat verder $(a+h) \in \text{Dom}(f)$ voldoen aan $|a + h - a| $<$ \delta$. Dan geldt vanwege de hypothese dat $|f(a + h) - b| $<$ \epsilon$.

We concluderen nu dat $\lim_{a + h \rightarrow a} f(a + h) = b$. Hier zit echter het probleem want ik heb iets anders bewezen. Mijn docent zegt ook dat dit niet goed is omdat ik niet: "Laat verder $(a+h) \in \text{Dom}(f)$ voldoen aan $|a + h - a| $<$ \delta$" moet hebben, maar "Kies een $h \in R$ zodat $(a+h) \in \text{Dom}(f)$ en $|h| $<$ \delta$".

Vervolgens substitueren we $x=a+h$ in de hypothese en concluderen dan $\lim_{h \rightarrow 0} f(a + h)$. Ik snap echter niet waarom dit mag want volgens de gebruikte limiet-definitie moeten de $x$'en (die we zien bij de definitie) op alle plekken toch gelijk aan elkaar zijn? Dus dat we over dezelfde $x$ praten? Maar blijkbaar is dat niet zo en ik zie niet in waarom.

Hartelijk bedankt.

Marcos
Student universiteit - woensdag 5 februari 2020

Antwoord

Om te beginnen: het helpt als je de uitspraken (meervoud) die achter de gelijkheid $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a + h)$ (enkelvoud) schuilen expliciet opschrijft. Ik gok dat je `implicatie van links naar rechts' neerkomt op: als $\lim_{x\to a}f(x)=b$ dan $\lim{h\to0}f(a+h)=b$.

Maar goed; wat echt achter deze opgave zit is het volgende: uit de gegeven functie $f:D\to\mathbb{R}$ wordt een nieuwe functie $g$ gemaakt met als domein de verzameling $E=\{h:a+h\in D\}$ en als definitie $g(h)=f(a+h)$. je moet dus bewijzen: als $\lim_{x\to a}f(x)=b$ dan $\lim_{h\to0}g(h)=b$.

Je openingszinnen zijn niet helemaal goed: nu lijkt het of $b$ van $\epsilon$ afhangt maar dat is natuurlijk niet zo. Je docent heeft half gelijk: omdat er $\lim_{h\to0}$ staat moet je met $h$s werken en niet meteen met $a+h$s; echter: het woord `Kies' in hun zin is onjuist, je hebt niets te kiezen, je moet laten zien dat het voor alle $h$s goed afloopt.

Ik zou het als volgt opschrijven:

Zij $\epsilon>0$. Wegens $\lim_{x\to a}f(x)=b$ is er een $\delta>0$ zó dat voor elke $x\in D$ met $|x-a| < \delta$ geldt dat $|f(x)-b| < \epsilon$. Laat nu $h\in E$ willekeurig zijn met $|h-0| < \delta$, dan geldt $a+h\in D$ en $|(a+h)-a|=|h| < \delta$. Dus volgt $|f(a+h)-b| < \epsilon$ en daarmee ook $|g(h)-b| < \epsilon$.

kphart
donderdag 6 februari 2020

©2001-2024 WisFaq