Epsilon delta bewijs met stuksgewijze functie

Beste mensen,

Gevraagd is om met behulp van een epsilon-delta bewijs aan te tonen dat de functie f(x) = e^(-1/x) als x $>$ 0, en 0 als x $\le$ 0 rechts continu is. Tot dusver is het mij gelukt om dit voor de gevallen x $<$ 0 en x = 0 te bewijzen. Het wil mij echter niet lukken om dit te bewijzen voor het geval dat x $>$ 0. Ik wil dus aantonen dat als x het getal y van rechts nadert, beide positief, er dan geldt dat de limiet van deze benadering over de functie e^(-1/x) gelijk is aan e^(-1/y). Het kiezen van een geschikte delta lijkt bij mij het probleem. Ik heb heel wat rekenwerk verricht en ben hierop uitgekomen: e^(-1/x) - e^(-1/y) $\le$ e^(-1/(y+delta) - e^(-1/y). Uiteindelijk wil ik dus hebben dat e^(-1/(y+delta) - e^(-1/y) $<$ epsilon (met epsilon $>$ 0 uiteraard). Het wil mij dus écht niet lukken om de juiste delta hiervoor te kiezen. Het lijkt wel of ik in een paradox terecht kom. Hulp is gewenst.

Richar
Student universiteit - zaterdag 30 november 2019

Antwoord

Je kunt ook gebruiken dat $f$ op $(0,\infty)$ een samenstelling van continue functies is: gegeven $\epsilon > 0$ is er een $\eta > 0$ zo dat als $|-\frac1y-z| < \eta$ dan $|e^{-\frac1y}-e^z| < \epsilon$ en daarbij bepaal je een $\delta $>$ 0$ zo dat als $|y-x| < \delta$ dan $|-\frac1y-(-\frac1z)| < \eta$.
Je kunt ook de middelwaardestelling gebruiken: de afgeleide van $e^{-\frac1x}$ is $\frac1{x^2}e^{-\frac1x}$ en deze is begrensd op $[y,\infty)$ en dat kun je gebruiken om bij elke $\epsilon$ een $\delta$ te bepalen.

kphart
zondag 1 december 2019

©2001-2024 WisFaq