Een uitgebreide coëfficiënten matrix oplossen

Gevraagd: Laat zien dat het stelsel van vergelijkingen voor iedere waarde van a oplosbaar is.

ax +2y + az = 5a
x + 2y + (2-a)z = 5
3x + (a+2)y + 6z = 15

Ik heb dit stelsel omgezet in een uitgebreide coëfficiënten matrix maar ik weet niet hoe ik verder zou moeten. Met Gauss eliminatie wil ik bijvoorbeeld de eerste kolom vegen maar dan zou ik bijvoorbeeld vergelijking nummer 2 met a vermenigvuldigen maar a zou 0 kunnen zijn en dat mag dan weer niet. Het zou echter wel met Gauss moeten maar ik zie het niet. Alvast bedankt.

Jordan
Student universiteit - zaterdag 28 september 2019

Antwoord

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met a en trek van het resultaat de tweede vergelijking af.
Dit vergt inderdaad dat je a ongelijk 0 veronderstelt te zijn.

Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3 en trek van het resultaat de derde vergelijking af.

Je hebt nu twee nieuwe vergelijkingen waarin de variabele x niet meer voorkomt.

Elimineer uit dit tweetal bijvoorbeeld z hetgeen ten slotte leidt tot (a+2)(a-1)y = 0.
Als nu a óók niet -2 is en ook niet 1, dan is y = 0 waarna z = 0 volgt en x = 5.

Er zijn dus drie waarden voor a waarbij er ‘iets’ mis zou kunnen gaan, namelijk -2, 0 en 1.
Welnu, keer terug naar het oorspronkelijke stelsel en vul achtereenvolgens elk van deze drie waarden in. Omdat er nu geen a meer aanwezig is, kun je die vergelijkingen relatief snel oplossen.

Als je achteraf nogeens kijkt naar de oplossing (5,0,0), dan zie je dat deze altijd voldoet, ongeacht de waarde van a. Vul maar in!
Daarmee zou je meteen verlost zijn van al dat moeizame geëlimineer. Maar ja, dan moet je die oplossing wel toevallig zien!

MBL
zaterdag 28 september 2019

©2001-2024 WisFaq