Limieten berekenen, wel of niet apart voor LL of RL

Bij sommige opgaven om limieten te berekenen wordt opgesplitst in RL en LL (linker limiet). Als je dat altijd doet, weet je altijd of ze verschillen of niet. Maar hoe kan je op voorhand weten of je moet opsplitsen in LL en RL of niet?
Bv. bij limiet op (+)oneindig van -3/(5x²) wordt het niet gedaan, en bij -5x/2 wel... . Die laatste zijn een vereenvoudiging van de opgave.

babips
3de graad ASO - donderdag 26 mei 2016

Antwoord

Beste babipsylon,

Volgens mij haal je hier twee zaken door elkaar: enerzijds limieten op $+\infty$ en $-\infty$ en anderzijds linker- en rechterlimiet in een punt $a$. Bij limieten op oneindig is geen sprake meer van linker- of rechterlimiet, je kan $+\infty$ resp. $-\infty$ immers maar langs één kant benaderen.

Het zou wel kunnen dat je voor een bepaalde functie de limiet zowel op $+\infty$ als op $-\infty$ wil bepalen, bijvoorbeeld bij een zoektocht naar asymptoten. Dan is het soms mogelijk om, net zoals bij linker- en rechterlimiet, wat werk te besparen door beide (zo veel als mogelijk) 'samen' te berekenen.

Je vraag is dan, als ik het goed begrijp, wanneer je moet opsplitsen in twee aparte limietberekeningen, dus in $+\infty$ en $-\infty$ of in de LL en RL. Eenvoudig gezegd: je kan ze samen houden zo lang de stap die je zet, geldig is in beide gevallen.

In jouw voorbeeld van $-3/(5x^2)$ kan je voor de limieten op oneindig de berekening compact samen doen, omdat $x^2$ zowel voor $x \to +\infty$ als voor $x \to -\infty$ naar $+\infty$ gaat:
$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3}{5x^2} = \frac{-3}{5} \underbrace{\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2}}_{\to 0} = 0$$Bij $-5x/2$ gaat dat niet omdat $x$ zich anders gedraagt op $+\infty$ dan op $-\infty$.

Iets gelijkaardig kan zich voordoen bij LL/RL: de berekening voor de twee samen doen zo lang elke stap geldig is aan beide kanten van het punt waar je de limieten berekent en opsplitsen van zodra er een verschil ontstaat.

mvg,
Tom

donderdag 26 mei 2016

©2001-2024 WisFaq